离散数学作业 251103

\(\def \gp#1#2{\lang #1,#2 \rang}\)

\[2.\because a 是极小元\therefore \forall x\in P,a\le x 或 a,x不可比较。\\ 若a不是最小元，\exist x\in P,a,x不可比较。\\ \because x不是极小元\therefore\exist y\in P,y\le x且y,a不可比较。\\ 由此，对于任意 x 与 a不可比较，总能找到y\le x,y与a不可比较。\\ 因此可以找到无限序列 a 满足 a_i\le a_{i+1}，a与a_i不可比较。但P是有限集，因此假设不成立，a是最小元。 \]

\[4.不妨设两个不同下确界为a,b。由定义知b\le a,a\le b。因此a=b，故这两个下确界相等，与假设矛盾。\\ 故下确界若存在一定唯一。 \]

\[7.若没有极大元，任取x\in P,\exist y\in P,x\le y。\\ 因此，对于 P 中的每一个元素 x，都存在y 满足 x\le y。\\ 那么可以找到无限序列 a 满足 a_i\le a_{i+1}。但是 P 是有限集，因此假设不成立，极大元一定存在。 \]

\(9.略\)