第1讲（上）：3D数学基础（上）

说明：本教程基于B站图形学大佬发财学长制作的 C++从零打造渲染器系列视频。写这篇文章的目的主要是作个人学习笔记，如果这份笔记能帮到他人，本人不胜荣幸

多数内容在初高中数学高等数学线性代数课程已经介绍很详细了，这里不过多解释。本文章主要讨论这些课程未覆盖到，与图形学强相关的知识点

视频链接:【C++从零打造渲染器】第1讲(上集)：3D数学基础（线性代数、向量、行列式、旋转矩阵、缩放矩阵）

视频链接:【C++从零打造渲染器】第1讲(下集)：3D数学基础（平移变换、坐标系间的转换、世界坐标系、世界变换矩阵）

坐标系

二维坐标系

三维坐标系：左手系右手系

极坐标系

球面坐标系

向量

向量矩阵形式：行向量 列向量（常用）

运算：加，减，数乘，取模，单位化，点乘，叉乘

向量混合积=向量构成平行六面体体积=向量构成行列式

\[\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \]

行列式

克拉默法则

假设有一个包含 \(n\) 个未知数、\(n\) 个方程的线性方程组：

\[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \dots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases} \]

将其写成矩阵形式 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)。

第 \(j\) 个未知数 \(x_j\) 的值为：

\[x_j = \frac{|A_j|}{|A|} \]

\(|A_j|\)：将系数矩阵 \(A\) 的第 \(j\) 列替换为常数向量 \(\mathbf{b}\) 后，得到的新矩阵的行列式。

几何变换

任何一个矩阵变换都可以写成矩阵的形式
几何变换的逆，就是矩阵的逆

缩放

例1：把下面的图形放大\(5\)倍

例2：沿着\(x\)轴放大\(3\)倍，沿\(y\)轴缩小\(\frac{1}{3}\)

变换矩阵：\(\begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}\) 逆变换：\(\begin{bmatrix} \frac{1}{s_x} & 0 \\ 0 & \frac{1}{s_y} \end{bmatrix}\)

旋转

例1:在二维平面中，把P点旋转\(\theta\)度

变换矩阵：\(\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\)逆变换：\(\begin{bmatrix} \cos\theta & sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\)

例2:在三维空间中，把P点绕Z轴旋转\(\theta\)度

绕z轴旋转\(\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

绕x轴旋转\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\)

绕y轴旋转\(\begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}\)

旋转方向遵循右手螺旋法则

例3:把P点绕X轴旋转\(\alpha\)度，再绕Y轴旋转\(\beta\)度，再绕X轴旋转\(\gamma\)度

其实就是左乘三个旋转矩阵

变换矩阵：\(\begin{bmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 \\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

\(\alpha,\beta,\gamma\)合称为欧拉角

欧拉角既可以表示变换，也可以表示朝向

朝向和变换本质是一回事的，朝向的意思就是对图形原始朝向做了什么变换