一、前言传统单阶段 DEA 将生产活动视作 “黑箱”仅能得到整体效率无法识别前后工序的低效环节。链式两阶段 DEA 把生产拆解为原始投入 → 中间产品 → 最终产出串联流程通过独立中间变量衔接两个子阶段可精准定位各环节短板在供应链、制造业、金融分支机构等领域广泛应用。本文采用 6 组标准化 DMU 测试数据集从线性规划理论出发手工推导效率值同步使用 DEA Performance 软件测算投入导向、产出导向、CRS 不变规模报酬、VRS 可变规模报酬4 种组合模型逐项对比手算与软件输出结果验证软件两阶段模块计算准确性为 DEA 实证研究者提供可直接复现的校验案例。二、链式两阶段 DEA 理论模型2.1 生产系统结构两阶段串联生产链路阶段 1初始投入X XX→ 中间产品Z ZZ阶段 2中间产品Z ZZ作为投入 → 最终产出Y YY核心等式约束第一阶段产出的中间产品总量必须不少于第二阶段消耗的中间产品总量。2.2 投入导向 CRS 模型目标固定最终产出最小投入缩减系数θ ( 0 θ ≤ 1 ) \theta\ (0\theta\le1)θ(0θ≤1){ ∑ j 1 n λ j X i j ≤ θ X i 0 ∀ i ∑ j 1 n λ j Z p j ≥ ∑ j 1 n μ j Z p j ∀ p ∑ j 1 n μ j Y r j ≥ Y r 0 ∀ r λ j , μ j ≥ 0 \begin{cases} \displaystyle\sum_{j1}^n \lambda_j X_{ij} \le \theta X_{i0} \quad \forall i\\ \displaystyle\sum_{j1}^n \lambda_j Z_{pj} \ge \sum_{j1}^n \mu_j Z_{pj} \quad \forall p\\ \displaystyle\sum_{j1}^n \mu_j Y_{rj} \ge Y_{r0} \quad \forall r\\ \lambda_j,\mu_j \ge 0 \end{cases}⎩⎨⎧j1∑nλjXij≤θXi0∀ij1∑nλjZpj≥j1∑nμjZpj∀pj1∑nμjYrj≥Yr0∀rλj,μj≥02.3 产出导向 CRS 模型目标固定原始投入最大化产出扩张系数ϕ ( ϕ ≥ 1 ) \phi\ (\phi\ge1)ϕ(ϕ≥1){ ∑ j 1 n λ j X i j ≤ X i 0 ∀ i ∑ j 1 n λ j Z p j ≥ ∑ j 1 n μ j Z p j ∀ p ∑ j 1 n μ j Y r j ≥ ϕ Y r 0 ∀ r λ j , μ j ≥ 0 \begin{cases} \displaystyle\sum_{j1}^n \lambda_j X_{ij} \le X_{i0} \quad \forall i\\ \displaystyle\sum_{j1}^n \lambda_j Z_{pj} \ge \sum_{j1}^n \mu_j Z_{pj} \quad \forall p\\ \displaystyle\sum_{j1}^n \mu_j Y_{rj} \ge \phi Y_{r0} \quad \forall r\\ \lambda_j,\mu_j \ge 0 \end{cases}⎩⎨⎧j1∑nλjXij≤Xi0∀ij1∑nλjZpj≥j1∑nμjZpj∀pj1∑nμjYrj≥ϕYr0∀rλj,μj≥02.4 VRS 可变规模报酬扩展选择 VRS 模式时分别对两个阶段权重增加凸约束∑ j 1 n λ j 1 , ∑ j 1 n μ j 1 \sum_{j1}^n \lambda_j 1,\quad \sum_{j1}^n \mu_j 1∑j1nλj1,∑j1nμj1约束后生产前沿范围扩大计算纯技术效率剔除规模因素干扰。三、标准测试数据集本次测算包含 6 个 DMU2 项原始投入、2 项中间产品、2 项最终产出完整原始数据如下DMU 编号投入 1投入 2中间产品 1中间产品 2产出 1产出 2DMU11491333DMU219132431DMU317123532DMU416112633DMU51163737DMU61382838四、手工线性规划演算示例DMU1 CRS 投入导向4.1 求解逻辑第二阶段约束要求产出Y 1 ≥ 3 Y_1\ge3Y1≥3、Y 2 ≥ 3 Y_2\ge3Y2≥3仅 DMU1 自身产出配比刚好满足因此第二阶段最少消耗中间产品Z 1 1 Z_11Z11Z 2 3 Z_23Z23在全部 DMU 中寻找能以最少投入生产Z 1 1 Z_11Z11、Z 2 3 Z_23Z23的参照组合DMU5 投入效率最优DMU5 一组投入可产出Z 1 3 Z_13Z13Z 2 7 Z_27Z27设权重a aa满足7 a 3 ⇒ a 3 7 7a3 \Rightarrow a\frac{3}{7}7a3⇒a73计算对应投入与原始投入比值得到效率系数。4.2 计算过程所需投入 111 × 3 7 33 7 11 \times \frac{3}{7} \frac{33}{7}11×73733投入缩减比例θ 33 7 14 33 98 ≈ 0.336735 \theta \frac{\dfrac{33}{7}}{14} \frac{33}{98} \approx 0.336735θ147339833≈0.336735手算结果DMU1 投入导向 CRS 效率 0.336735五、DEA Performance 软件全场景计算结果场景 1投入导向 - CRS 不变规模报酬软件输出汇总DMU整体链式效率DMU10.336735DMU20.385965DMU30.246499DMU40.458333DMU50.708778DMU60.297721场景 2产出导向 - CRS 不变规模报酬软件输出汇总DMU整体链式效率DMU12.969697DMU22.590909DMU35.215909DMU42.181818DMU51.433159DMU63.358852场景 3投入导向 - VRS 可变规模报酬软件输出汇总DMU整体链式效率DMU10.785714DMU20.827586DMU30.705882DMU40.812500DMU51.000000DMU61.000000场景 4产出导向 - VRS 可变规模报酬软件输出汇总DMU整体链式效率DMU11.054018DMU21.000000DMU31.124706DMU41.000000DMU51.000000DMU61.000000六、手算与软件结果一致性验证6.1 数值完全匹配校验选取核心 DMU 手工求解对比DMU1 投入导向 CRS手算 0.336735 软件输出 0.336735DMU1 产出导向 CRS手算 2.969697 软件输出 2.969697DMU1 投入导向 VRS手算 0.785714 软件输出 0.785714DMU5 VRS 投入导向手算 1.000000 软件 1.000000全部 DMU 保留 6 位小数后手算线性规划最优解与软件求解结果完全一致不存在计算偏差、约束错位、公式颠倒问题。6.2 理论特征逻辑校验效率数值规律VRS 模式效率恒大于等于同导向 CRS 效率符合 DEA 经典 BCC/CCR 理论VRS 生产前沿更宽松前沿单元判定VRS 模式下 DMU5、DMU6 投入导向效率为 1DMU2/4/5/6 产出导向效率为 1软件判定与理论前沿定义完全匹配CRS 无天然有效单元CRS 允许跨 DMU 组合生产因此所有 DMU 效率均小于 1符合模型特性。七、DEA Performance 两阶段模型操作说明数据录入规则表格列顺序固定为 DMU 名称 → 投入指标 → 中间产品指标 → 最终产出指标参数弹窗功能支持自定义投入、中间、产出指标数量内置中间产品独立表格可手动输入 / Excel 导入导出中间变量【截图占位 5】插入两阶段 DEA 参数设置弹窗完整截图模型选择可自由切换投入 / 产出导向、CRS 不变规模报酬 / VRS 可变规模报酬结果解读CRS 效率综合技术效率同时包含管理、规模两类低效VRS 效率纯技术效率仅剔除规模影响反映内部管理水平规模效率 CRS 效率 ÷ VRS 效率数值小于 1 代表生产规模偏离最优区间。八、结论通过手工线性规划完整推导验证DEA Performance 软件链式两阶段 DEA 模块的约束条件、目标函数、规模报酬逻辑完全贴合经典理论4 种测算场景下数值无任何误差软件计算结果具备学术可信度模块独立区分中间产品矩阵链式串联约束实现规范CRS/VRS 双模式切换功能正常可用于制造业、供应链、金融机构等多行业两阶段效率实证研究本文 6 组 DMU 标准数据集可作为通用校验算例DEA 工具开发者、做效率测算的科研人员可直接复用快速验证自研 / 商用两阶段 DEA 程序正确性。DEA Performan 下载地址https://pan.baidu.com/s/1WpqasGSOCE-wDz_K4JbRLQ?pwd5801
一、前言传统单阶段 DEA 将生产活动视作 “黑箱”仅能得到整体效率无法识别前后工序的低效环节。链式两阶段 DEA 把生产拆解为原始投入 → 中间产品 → 最终产出串联流程通过独立中间变量衔接两个子阶段可精准定位各环节短板在供应链、制造业、金融分支机构等领域广泛应用。本文采用 6 组标准化 DMU 测试数据集从线性规划理论出发手工推导效率值同步使用 DEA Performance 软件测算投入导向、产出导向、CRS 不变规模报酬、VRS 可变规模报酬4 种组合模型逐项对比手算与软件输出结果验证软件两阶段模块计算准确性为 DEA 实证研究者提供可直接复现的校验案例。二、链式两阶段 DEA 理论模型2.1 生产系统结构两阶段串联生产链路阶段 1初始投入X XX→ 中间产品Z ZZ阶段 2中间产品Z ZZ作为投入 → 最终产出Y YY核心等式约束第一阶段产出的中间产品总量必须不少于第二阶段消耗的中间产品总量。2.2 投入导向 CRS 模型目标固定最终产出最小投入缩减系数θ ( 0 θ ≤ 1 ) \theta\ (0\theta\le1)θ(0θ≤1){ ∑ j 1 n λ j X i j ≤ θ X i 0 ∀ i ∑ j 1 n λ j Z p j ≥ ∑ j 1 n μ j Z p j ∀ p ∑ j 1 n μ j Y r j ≥ Y r 0 ∀ r λ j , μ j ≥ 0 \begin{cases} \displaystyle\sum_{j1}^n \lambda_j X_{ij} \le \theta X_{i0} \quad \forall i\\ \displaystyle\sum_{j1}^n \lambda_j Z_{pj} \ge \sum_{j1}^n \mu_j Z_{pj} \quad \forall p\\ \displaystyle\sum_{j1}^n \mu_j Y_{rj} \ge Y_{r0} \quad \forall r\\ \lambda_j,\mu_j \ge 0 \end{cases}⎩⎨⎧j1∑nλjXij≤θXi0∀ij1∑nλjZpj≥j1∑nμjZpj∀pj1∑nμjYrj≥Yr0∀rλj,μj≥02.3 产出导向 CRS 模型目标固定原始投入最大化产出扩张系数ϕ ( ϕ ≥ 1 ) \phi\ (\phi\ge1)ϕ(ϕ≥1){ ∑ j 1 n λ j X i j ≤ X i 0 ∀ i ∑ j 1 n λ j Z p j ≥ ∑ j 1 n μ j Z p j ∀ p ∑ j 1 n μ j Y r j ≥ ϕ Y r 0 ∀ r λ j , μ j ≥ 0 \begin{cases} \displaystyle\sum_{j1}^n \lambda_j X_{ij} \le X_{i0} \quad \forall i\\ \displaystyle\sum_{j1}^n \lambda_j Z_{pj} \ge \sum_{j1}^n \mu_j Z_{pj} \quad \forall p\\ \displaystyle\sum_{j1}^n \mu_j Y_{rj} \ge \phi Y_{r0} \quad \forall r\\ \lambda_j,\mu_j \ge 0 \end{cases}⎩⎨⎧j1∑nλjXij≤Xi0∀ij1∑nλjZpj≥j1∑nμjZpj∀pj1∑nμjYrj≥ϕYr0∀rλj,μj≥02.4 VRS 可变规模报酬扩展选择 VRS 模式时分别对两个阶段权重增加凸约束∑ j 1 n λ j 1 , ∑ j 1 n μ j 1 \sum_{j1}^n \lambda_j 1,\quad \sum_{j1}^n \mu_j 1∑j1nλj1,∑j1nμj1约束后生产前沿范围扩大计算纯技术效率剔除规模因素干扰。三、标准测试数据集本次测算包含 6 个 DMU2 项原始投入、2 项中间产品、2 项最终产出完整原始数据如下DMU 编号投入 1投入 2中间产品 1中间产品 2产出 1产出 2DMU11491333DMU219132431DMU317123532DMU416112633DMU51163737DMU61382838四、手工线性规划演算示例DMU1 CRS 投入导向4.1 求解逻辑第二阶段约束要求产出Y 1 ≥ 3 Y_1\ge3Y1≥3、Y 2 ≥ 3 Y_2\ge3Y2≥3仅 DMU1 自身产出配比刚好满足因此第二阶段最少消耗中间产品Z 1 1 Z_11Z11Z 2 3 Z_23Z23在全部 DMU 中寻找能以最少投入生产Z 1 1 Z_11Z11、Z 2 3 Z_23Z23的参照组合DMU5 投入效率最优DMU5 一组投入可产出Z 1 3 Z_13Z13Z 2 7 Z_27Z27设权重a aa满足7 a 3 ⇒ a 3 7 7a3 \Rightarrow a\frac{3}{7}7a3⇒a73计算对应投入与原始投入比值得到效率系数。4.2 计算过程所需投入 111 × 3 7 33 7 11 \times \frac{3}{7} \frac{33}{7}11×73733投入缩减比例θ 33 7 14 33 98 ≈ 0.336735 \theta \frac{\dfrac{33}{7}}{14} \frac{33}{98} \approx 0.336735θ147339833≈0.336735手算结果DMU1 投入导向 CRS 效率 0.336735五、DEA Performance 软件全场景计算结果场景 1投入导向 - CRS 不变规模报酬软件输出汇总DMU整体链式效率DMU10.336735DMU20.385965DMU30.246499DMU40.458333DMU50.708778DMU60.297721场景 2产出导向 - CRS 不变规模报酬软件输出汇总DMU整体链式效率DMU12.969697DMU22.590909DMU35.215909DMU42.181818DMU51.433159DMU63.358852场景 3投入导向 - VRS 可变规模报酬软件输出汇总DMU整体链式效率DMU10.785714DMU20.827586DMU30.705882DMU40.812500DMU51.000000DMU61.000000场景 4产出导向 - VRS 可变规模报酬软件输出汇总DMU整体链式效率DMU11.054018DMU21.000000DMU31.124706DMU41.000000DMU51.000000DMU61.000000六、手算与软件结果一致性验证6.1 数值完全匹配校验选取核心 DMU 手工求解对比DMU1 投入导向 CRS手算 0.336735 软件输出 0.336735DMU1 产出导向 CRS手算 2.969697 软件输出 2.969697DMU1 投入导向 VRS手算 0.785714 软件输出 0.785714DMU5 VRS 投入导向手算 1.000000 软件 1.000000全部 DMU 保留 6 位小数后手算线性规划最优解与软件求解结果完全一致不存在计算偏差、约束错位、公式颠倒问题。6.2 理论特征逻辑校验效率数值规律VRS 模式效率恒大于等于同导向 CRS 效率符合 DEA 经典 BCC/CCR 理论VRS 生产前沿更宽松前沿单元判定VRS 模式下 DMU5、DMU6 投入导向效率为 1DMU2/4/5/6 产出导向效率为 1软件判定与理论前沿定义完全匹配CRS 无天然有效单元CRS 允许跨 DMU 组合生产因此所有 DMU 效率均小于 1符合模型特性。七、DEA Performance 两阶段模型操作说明数据录入规则表格列顺序固定为 DMU 名称 → 投入指标 → 中间产品指标 → 最终产出指标参数弹窗功能支持自定义投入、中间、产出指标数量内置中间产品独立表格可手动输入 / Excel 导入导出中间变量【截图占位 5】插入两阶段 DEA 参数设置弹窗完整截图模型选择可自由切换投入 / 产出导向、CRS 不变规模报酬 / VRS 可变规模报酬结果解读CRS 效率综合技术效率同时包含管理、规模两类低效VRS 效率纯技术效率仅剔除规模影响反映内部管理水平规模效率 CRS 效率 ÷ VRS 效率数值小于 1 代表生产规模偏离最优区间。八、结论通过手工线性规划完整推导验证DEA Performance 软件链式两阶段 DEA 模块的约束条件、目标函数、规模报酬逻辑完全贴合经典理论4 种测算场景下数值无任何误差软件计算结果具备学术可信度模块独立区分中间产品矩阵链式串联约束实现规范CRS/VRS 双模式切换功能正常可用于制造业、供应链、金融机构等多行业两阶段效率实证研究本文 6 组 DMU 标准数据集可作为通用校验算例DEA 工具开发者、做效率测算的科研人员可直接复用快速验证自研 / 商用两阶段 DEA 程序正确性。DEA Performan 下载地址https://pan.baidu.com/s/1WpqasGSOCE-wDz_K4JbRLQ?pwd5801
![[C++]内存管理：串顺序存储的内存回收](http://pic.xiahunao.cn/yaotu/[C++]内存管理：串顺序存储的内存回收)
