数据结构-二叉树-拓冰建站

一、树型结构

1、概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树，是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点；
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；
树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2、概念（重要）

结点的度 ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图： A 的度为 6

树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为 6

叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点；如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶结点

双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图： A 是 B 的父结点

孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图： B 是 A 的孩子结点

根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A

结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推

树的高度或深度 ：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为 4

树的以下概念只需了解：

非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点；如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支结点

兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图： B 、 C 是兄弟结点

堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点

结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙

森林：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林

3、树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如： 双亲表示法 、孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。

class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

4、树的应用

文件系统管理（目录和文件）：

二、二叉树（重点）

1、概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2、两种特殊的二叉树

1、 满二叉树 : 一棵二叉树，如果 每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说， 如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k - 1 ，则它就是满二叉树。

2、 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3、二叉树的性质

1. 若规定 根结点的层数为 1 ，则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i - 1) (i>0) 个结点

2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 ，则 深度为 K 的二叉树的最大结点数是 2^k - 1 (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋ 1

4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为 log(n+1) （以2为底）上取整

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ，如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ，则对于 序号为 i 的结点有 ：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

下面是几个例题：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

3. 一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

4. 一棵完全二叉树的节点数为 531 个，那么这棵树的高度为（）

A 11

B 10

C 8

D 12

答案：

1.B 2.A 3.B 4.B

4、二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式 ，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

下面采用孩子表示法来构建二叉树。

5、二叉树的基本操作

5.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。此处先手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，这里并不是 二叉树真正的创建方式。

public class BinaryTree {static class TreeNode {public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(char val) {this.val = val;}}public TreeNode CreateTree () {TreeNode A = new TreeNode('A');TreeNode B = new TreeNode('B');TreeNode C = new TreeNode('C');TreeNode D = new TreeNode('D');TreeNode E = new TreeNode('E');TreeNode F = new TreeNode('F');TreeNode G = new TreeNode('G');TreeNode H = new TreeNode('H');A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.right = E;C.left = F;C.right = G;E.right = H;return A;  //返回根节点}
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式。

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念， 二叉树是：

1. 空树

2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

5.2 二叉树的遍历

1. 前中后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历 (Traversal) 是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问 。 访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题 ( 比如：打印节点内容、节点内容加 1) 。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱， 如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的 。如果 N 代表根节点， L 代表根节点的左子树， R 代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR ：前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历 )—— 访问根结点 ---> 根的左子树 ---> 根的右子树。
LNR ：中序遍历 (Inorder Traversal)—— 根的左子树 ---> 根节点 ---> 根的右子树。
LRN ：后序遍历 (Postorder Traversal)—— 根的左子树 ---> 根的右子树 ---> 根节点。

下面分别是递归方法和非递归方法实现前中后序遍历。

递归方法：

//先序遍历public void preOrder(TreeNode root) {if (root == null) {return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}//中序遍历public void inOrder(TreeNode root) {if (root == null) {return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);}//后序遍历public void postOrder(TreeNode root) {if (root == null) {return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");}

非递归方法：

 //非递归方法先序遍历public void preOrderNor(TreeNode root) {if (root == null) {return;}Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();TreeNode cur = root;while (cur != null || !stack.isEmpty()) {while (cur != null) {stack.push(cur);System.out.print(cur.val+" ");cur = cur.left;}TreeNode top = stack.pop();cur = top.right;}}//非递归方法中序遍历public void inOrderNor(TreeNode root) {if (root == null) {return;}Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();TreeNode cur = root;while (cur != null||!stack.isEmpty()) {while (cur != null) {stack.push(cur);cur = cur.left;}TreeNode top = stack.pop();System.out.print(top.val+" ");cur = top.right;}}//非递归方法后序遍历public void postOrderNor(TreeNode root) {if (root == null) {return;}TreeNode prev=null;Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();TreeNode cur = root;while (cur != null||!stack.isEmpty()) {while (cur != null) {stack.push(cur);cur = cur.left;}TreeNode top = stack.peek();if (top.right==null || top.right==prev) {System.out.print(top.val+" ");stack.pop();prev = top;}else {cur = top.right;}}}

下面用图来主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似。

该二叉树的：

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

2. 层序遍历

层序遍历 ：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为 1 ，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

下面是一些相关例题：

1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为 ()

A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA

2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历： EFHIGJK; 中序遍历： HFIEJKG. 则二叉树根结点为 ()

A: E B: F C: G D: H

3. 设一课二叉树的中序遍历序列： badce ，后序遍历序列： bdeca ，则二叉树前序遍历序列为 ()

A: adbce B: decab C: debac D: abcde

4. 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出 ( 同一层从左到右 ) 的序列为 ()

A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

【答案】 1.A 2.A 3.D 4.A

5.3 二叉树的基本操作

// 获取树中节点的个数

int size ( Node root );

// 获取叶子节点的个数

int getLeafNodeCount ( Node root );

// 子问题思路 - 求叶子结点个数

// 获取第 K 层节点的个数

int getKLevelNodeCount ( Node root , int k );

// 获取二叉树的高度

int getHeight ( Node root );

// 检测值为 value 的元素是否存在

Node find ( Node root , int val );

// 层序遍历

void levelOrder ( Node root );

// 判断一棵树是不是完全二叉树

boolean isCompleteTree ( Node root );

下面是这些基本操作的具体实现代码：

    //统计树的节点个数public int size(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}return size(root.left)+size(root.right) +1;}public int leafNoteSize;//获取叶子结点的个数//遍历方法public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}if (root.left==null&&root.right==null) {leafNoteSize++;}getLeafNodeCount(root.left);getLeafNodeCount(root.right);return leafNoteSize;}//子问题方法求叶子结点个数public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}if (root.left==null&&root.right==null) {return 1;}return getLeafNodeCount2(root.left)+getLeafNodeCount2(root.right);}//获取二叉树的第k层节点个数public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {if (root == null||k == 0) {return 0;}if (k == 1)  {return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);}// 获取二叉树的高度public int getHeight(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}int leftHeight = getHeight(root.left);int rightHeight = getHeight(root.right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1:rightHeight+1;}// 检测值为value的元素是否存在public TreeNode find(TreeNode root, int val) {if (root == null) {return null;}if (root.val == val) {return root;}TreeNode leftNode = find(root.left,val);if (leftNode != null) {return leftNode;}TreeNode rightNode = find(root.right,val);if (rightNode != null) {return rightNode;}return null;}//二叉树层序遍历void levelOrder(TreeNode root) {if (root == null) {return;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);  //先存在队列里while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();System.out.print(cur.val+" ");if (cur.left != null) {queue.offer(cur.left);}if (cur.right != null) {queue.offer(cur.right);}}}//判断是否为完全二叉树boolean isCompleteTree(TreeNode root) {if (root == null) {return false;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()){TreeNode cur = queue.poll();if (cur!=null) {queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);}else {break;}}while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur1 = queue.poll();if (cur1 == null) {queue.poll();}else {return false;}}return true;}