2025女丘

设

\[f(x)=\frac{x^2-3x+3}{x^2-x+1} \]

对于所有正整数 \(n\)，求 \(f^{(n)}(x)\)。

设 \(A,B\) 是实对称矩阵，证明：\(tr(ABAB)\le tr(A^2B^2)\)，并求出等号成立的充分必要条件。

设 \(a,z,w\) 为复数，其中 \(|a|\le 1\)，\(1+az+\bar{a}w+zw=0\)，求证：\(|z|\le 1\) 或 \(|w|\le 1\)。

设有 \(3\) 阶复矩阵 \(A\)，满足 \(tr(A)=3\)，\(tr(A^2)=5\)，\(tr(A^3)=9\)，求证：\(A\) 相似于对角阵。