测度论02 勒贝格积分-拓冰建站

非负函数的勒贝格积分的定义

\(\newcommand{\S}{\mathcal{S}}\newcommand{\B}{\mathcal{B}}\newcommand{\S}{\mathcal{S}}\newcommand{\B}{\mathcal{B}}\newcommand{\Pow}{\mathcal{P}}\newcommand{\L}{\mathcal{L}}\newcommand{\d}{\text{ d}}\)对于\(X\)上的\(\sigma\)-algebra \(\S\)，如果\(\S\)中的有限个元素\(A_1,\cdots,A_m\)两两无交，且\(\bigcup\limits_{i=1}^{m}A_i=X\)，就称\(\{A_i\}\)是\(X\)的一个\(\S\)-partition。

在测度空间\((X,\S,\mu)\)中，对于任意非负的\(S\)-可测函数\(f:X\to [0,\infty]\)，对于给定的\(S\)-partition \(P=\{A_i\}_{i=1}^m\)，定义勒贝格下和(lower Lebesgue sum)为：

\[\mathcal{L}(f,P):=\sum\limits_{i=1}^{m}\mu(A_i)\cdot \left(\inf\limits_{x\in A_i}f(x)\right) \]

可以看到，这一定义是自然的。勒贝格下和在每个分划上对\(f\)取下确界（根据确界存在定理，下确界一定存在），然后乘以分划的测度，最后对所有乘积求和。直观上，勒贝格下和总是小于“积分”的精确值。于是，勒贝格积分(Lebesgue integration)定义为全体勒贝格下和的上确界：

\[\int f \d \mu=\sup \{\L(f,P)\mid P\text{ is an }\S\text{-partition of }X\} \]

在勒贝格积分的定义中，符号\(\d\) 并不表示“微分”或任何其它含义，它只是一个“分隔符”，用来把表示测度的\(\mu\)和表示函数的\(f\)分开。

单调收敛定理

注意到，勒贝格下和的定义中所取的分划是有限的。它就好像黎曼积分中的“达布下和”与“达布上和”一样，可以看作是“有限切分”逼近“无限切分”的过程。下面就来严格刻画这一过程：

给定测度空间\((X,\S,\mu)\)，对于任意\(E\in \S\)，定义函数\(\chi_E:X\to [0,\infty]\)，其中\(\chi_E(x)=1\)当且仅当\(x\in E\)，否则\(\chi_E(x)=0\)。那么成立\(\displaystyle\int \chi_E \d \mu=\mu(E)\)。证明：设\(P=\{E,X\setminus E\}\)，这是一个\(\S\)-partition，因此\(\displaystyle\int \chi_E \d \mu\geq\mu(E) \cdot 1+\mu(X\setminus E)\cdot 0=\mu(E)\)；而对于任意\(\S\)-partition \(P=\{A_i\}_{i=1}^{m}\)，\(\inf\limits_{x\in A_i}\chi_E(x)=1\)当且仅当\(A_i\subseteq E\)，否则\(\inf\limits_{x\in A_i}\chi_E(x)=0\)。因此\(\L(\chi_E,P)=\sum\limits_{i=1}^{m}\mu(A_i)\cdot \left(\inf\limits_{x\in A_i}\chi_E(x)\right)=\sum\limits_{A_i\subseteq E}^{m}\mu(A_i)\)。因为\(A_i\)是两两无交的，所以由测度的定义\(\sum\limits_{A_i\subseteq E}^{m}\mu(A_i)=\mu\left(\bigcup\limits_{A_i\subseteq E}A_i\right)\)。而\(\bigcup\limits_{A_i\subseteq E}A_i\subseteq E\)，因此\(\mu\left(\bigcup\limits_{A_i\subseteq E}A_i\right)\leq \mu(E)\)。所以\(\L(\chi_E,P)\leq \mu(E)\)，也即\(\displaystyle\int \chi_E\d \mu\leq \mu(E)\)。综上可得\(\displaystyle\int \chi_E \d \mu=\mu(E)\)，证毕。

如果非负的\(\S\)-可测函数\(f\)只有有限个不同的取值，那么称\(f\)是一个简单函数(simple function)。设简单函数\(f\)的有限个取值分别为\(c_1,\cdots,c_k\)。记\(E_i=f^{-1}(c_i)\)，那么\(\{E_i\}\)构成一个\(\S\)-partition，并且对任意\(x\in X\)都有\(f(x)=\sum\limits_{i=1}^{k}c_i\chi_{E_i}\)。下面证明\(\displaystyle\int f\d \mu=\sum\limits_{i=1}^{k}c_i\cdot \mu(E_i)\)。证明：首先，\(\L(f,\{E_i\})=\sum\limits_{i=1}^{k}c_i\cdot \mu(E_i)\leq \displaystyle\int f\d \mu\)；对于任意\(\S\)-partition \(P=\{A_i\}_{i=1}^{m}\)，\(\inf\limits_{x\in A_i}f(x)=\min\limits_{A_i\cap E_i\neq \varnothing}c_i\)，所以\(\L(f,P)=\sum\limits_{i=1}^{m}\mu(A_i)\cdot \left(\min\limits_{A_i\cap E_i\neq \varnothing}c_i\right)\leq\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{k}\mu(A_i\cap E_j)\cdot \left(\min\limits_{A_i\cap E_i\neq \varnothing}c_i\right)\)。对于\(\mu(A_i\cap E_j)\neq 0\)的项，显然\(A_i\cap E_j\neq \varnothing\)，因此成立\(\min\limits_{A_i\cap E_i\neq \varnothing}c_i\leq c_j\)。所以上式小于等于\(\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{k}\mu(A_i\cap E_j)c_j=\sum\limits_{j=1}^{k}c_j\cdot \mu(E_j)\)。综上，\(\displaystyle\int f\d \mu\leq \sum\limits_{i=1}^{k}c_i\cdot \mu(E_i)\)。证毕。

如果\(\S\)-可测函数\(f,g:X\to [0,\infty]\)满足\(\forall x\in X,f(x)\leq g(x)\)，那么\(\displaystyle\int f \d \mu \leq \int g \d \mu\)，这就是勒贝格积分呢的保号性。保号性是显然的，因为对于任意\(\S\)-partition \(P\)，成立\(\L(f,P)\leq \L(g,P)\)。

可以发现，对于任意\(\S\)-可测函数\(f:X\to [0,\infty]\)，给定一个\(\S\)-partition \(P\)时，\(\L(f,P)\)本身就是一个简单函数。所以，\(\displaystyle\int f \d \mu\)恰好等于所有逐点小于\(f\)的简单函数的勒贝格积分的上确界。也即，\(\displaystyle\int f\d \mu=\sup\{\int g \d \mu\mid f\geq g\land \text{ }g\text{ is simple}\}\)。

最后我们证明：设\(0\leq f_1\leq f_2\leq \cdots\)是一列单调递增的\(\S\)-可测函数，定义\(f:X\to [0,\infty]\)满足\(\forall x\in X,f(x):=\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)\)，那么成立

\[\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \d\mu = \int f\d \mu \]

这称为单调收敛定理(Monotone Convergence Theorem, MCT)。因为我们引入了符号\(\infty\)，所以\(f(x)\)在每一点处都是有定义的。下面证明单调收敛定理：我们证明过可测函数列的极限函数也是可测的，因此\(f\)是可测的。根据定义，\(\forall k,f\geq f_k\)，因此\(\displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \d\mu \leq \int f\d \mu\)。那么只需证\(\displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \d\mu \geq \int f\d \mu\)。由上一段的观察，只需证明对于任意简单函数\(g\)，如果\(f\geq g\)，则\(\displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \d\mu \geq \int g\d \mu\)。固定一个这样的\(g\)，不妨设\(g\)由分划\(P=\{A_i\}_{i=1}^{m}\)与常数\(\{c_i\}\)定义，也即\(g(x)=\sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i}(x)\)，且满足\(f(x)\geq \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i}(x)\)。当前的证明目标是\(\displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \d\mu \geq \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\mu(A_i)\)，但是并不一定成立\(\forall k,\displaystyle\int f_k \d\mu \geq \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\mu(A_i)\)。为此，我们技巧性地引入一个常数\(t\in (0,1)\)，令\(E_k:=\{x\mid f_k(x)\geq t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i}(x)\}\)。可见，\(E_1\subseteq E_2\subseteq \cdots\)。因为\(\forall x\in X,\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)\)，所以\(\forall x,\forall\varepsilon\exists N>0\)使得\(\forall n>N,f(x)-f_n(x)\leq\varepsilon\)。取\(\varepsilon=f(x)-t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i}(x)\)，可见\(f_n(x)\geq t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i}(x)\)。可见\(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}E_k=X\)。于是，对于任意\(A_i\)，\(\mu(A_i)=\mu\left(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}(A_i\cap E_k)\right)\)，由测度的连续性可知\(\mu(A_i)=\lim\limits_{k\to\infty}\mu(A_i\cap E_k)\)。现在，\(\forall x\in E_k\)我们有\(f_k(x)\geq t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i}(x)\)。这等价于，\(\forall x\in X\)，\(f_k(x)\geq t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i\cap E_k}(x)\)。两边同时求勒贝格积分，可得\(\displaystyle\int f_k(x) \d\mu\geq t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\mu(A_i\cap E_k)\)。两边同时令\(k\to\infty\)，可得\(\displaystyle\lim\limits_{k\to\infty}\int f_k(x) \d\mu\geq t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\lim\limits_{k\to\infty}\mu(A_i\cap E_k)=t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\mu(A_i)\)。再令右式中的\(t\to 1\)，就得到了\(\displaystyle\lim\limits_{k\to\infty}\int f_k(x) \d\mu\geq\sum\limits_{i=1}^{m}c_i\mu(A_i)\)。证毕。

单调收敛定理告诉我们，我们可以用一列上升的逼近\(f\)的函数的积分来逼近\(f\)的积分，这符合我们对于非负函数的积分的直观。特别地，这列上升的函数可以取简单函数，简单函数拥有所有我们熟悉的运算性质。基于这一观察，可以证明勒贝格积分的线性性：

\[\displaystyle\int (f+g)\d \mu=\int f\d\mu+\int g \d \mu \]

实值函数的勒贝格积分

对于实值函数\(f:X\to [-\infty,+\infty]\)（这里引入正无穷符号和负无穷符号，方便书写）的勒贝格积分，我们可以做下面的分解，将问题还原为非负函数的勒贝格积分：令\(f^+(x):=f(x)\)如果\(f(x)\geq 0\)，否则\(f^+(x):=0\)；令\(f^-(x):=-f(x)\)如果\(f(x)< 0\)，否则\(f^-(x):=0\)。于是，\(f=f^+-f^-\)，\(|f|=f^++f^{-1}\)。

对于实值函数\(f\)，其勒贝格积分定义为：

\[\int f \d \mu:=\int f^+ \d \mu-\int f^- \d\mu \]

可以验证上述定义的勒贝格积分满足：