一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分。

当 \(x \to 0^+\) 时，下列无穷小量中与 \(x\) 等价的是（）
A. \(e^{-\sin x} - 1\)
B. \(\sqrt{x+1} - \cos x\)
C. \(1 - \cos \sqrt{2x}\)
D. \(1 - \frac{\ln(1+x)}{x}\)
已知函数 \(f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t \, dt\)，\(g(x) = \int_0^x e^{t^2} dt \cdot \sin^2 x\)，则（）
A. \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的极值点，也是 \(g(x)\) 的极值点。
B. \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的极值点，\((0,0)\) 是曲线 \(y=g(x)\) 的拐点。
C. \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的极值点，\((0,0)\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的拐点。
D. \((0,0)\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的拐点，也是曲线 \(y=g(x)\) 的拐点。
设 \(k\) 为常数，则级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left[ \frac{1}{n} - \ln\left(1 + \frac{k}{n^2}\right) \right]\) 的敛散性为（）
A. 绝对收敛。
B. 条件收敛。
C. 发散。
D. 敛散性与 \(k\) 的取值有关。
设函数 \(f(x)\) 连续，则 \(\int_0^1 dy \int_y^1 f(x) dx =\)（）
A. \(\int_0^1 x f(x) dx\)
B. \(\int_0^1 (x+1) f(x) dx\)
C. \(\int_0^1 (x-1) f(x) dx\)
D. \(\int_0^1 (1-x) f(x) dx\)
设 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(m \times n\) 矩阵，\(\boldsymbol{\beta}\) 是 \(m\) 维非零列向量。若 \(\boldsymbol{A}\) 有 \(k\) 阶非零子式，则（）
A. 当 \(k=m\) 时，\(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{\beta}\) 必有解。
B. 当 \(k=m\) 时，\(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{\beta}\) 必无解。
C. 当 \(k<m\) 时，\(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{\beta}\) 必有解。
D. 当 \(k<m\) 时，\(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{\beta}\) 必无解。
设 \(\boldsymbol{A}\) 为 3 阶矩阵，则“\(\boldsymbol{A}^3 - \boldsymbol{A}^2\) 可对角化”是“\(\boldsymbol{A}\) 可对角化”的（）
A. 充分必要条件。
B. 必要但不充分条件。
C. 充分但不必要条件。
D. 既不充分也不必要条件。
设矩阵 \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -a \end{pmatrix}, \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & a \end{pmatrix}\)，若 \(f(x,y) = |x\boldsymbol{A} + y\boldsymbol{B}|\) 是正定二次型，则 \(a\) 的取值范围是（）
A. \((0, 2-\sqrt{3})\)
B. \((2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})\)
C. \((2+\sqrt{3}, 4)\)
D. \((0, 4)\)
随机变量 \(X \sim N(-1, 1), Y \sim N(1, 2)\)，若 \(X\) 与 \(X+2Y\) 不相关，则 \(X\) 与 \(X-Y\) 的相关系数为（）
A. \(1/3\)
B. \(1/2\)
C. \(2/3\)
D. \(3/4\)
设 \(X_1, X_2, \dots, X_{20}\) 是来自总体 \(B(1, 0.1)\) 的简单随机样本。令 \(T = \sum_{i=1}^{20} X_i\)，利用泊松分布近似计算可得 \(P\{T \leq 1\} \approx\)（）
A. \(1/e^2\)
B. \(2/e^2\)
C. \(3/e^2\)
D. \(4/e^2\)
设总体 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)\)，\(x_1, \dots, x_n\) 为样本，经验分布函数为 \(F_n(x)\)。对于给定的 \(x\) (\(0 < F(x) < 1\))，\(D(F_n(x)) =\)（）
A. \(F(x)(1-F(x))\)
B. \((F(x))^2\)
C. \(\frac{1}{n} F(x)(1-F(x))\)
D. \(\frac{1}{n} (F(x))^2\)

二、填空题：11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分。

设 \(g(x)\) 是函数 \(f(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{3+x}{3-x}\) 的反函数，则曲线 \(y=g(x)\) 的渐近线方程为 ________。
设 \(\int_0^{+\infty} \frac{1}{(x+a)(2x+a)} dx = \ln 2\)，则 \(a =\) ________。
微分方程 \(xy' - y + x^2 e^x = 0\) 满足条件 \(y(1) = -e\) 的解为 \(y =\) ________。
已知函数 \(z = z(x,y)\) 由 \(z + \ln z - \int_0^{x+y^2} e^{-t^2} dt = 1\) 确定，则 \(\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{(0,0)} =\) ________。
已知

\[f(x)= \begin{vmatrix} x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x \end{vmatrix}, \]
则方程 \(f(x) = 0\) 的不同根的个数为 ________。
设 \(A, B, C\) 为三个随机事件，\(A, B\) 独立，\(B, C\) 独立，\(A, C\) 互不相容。已知 \(P(A)=P(C)=1/4, P(B)=1/2\)，则在 \(A, B, C\) 至少有一个发生的条件下，\(A, B, C\) 中恰有一个发生的概率为 ________。

三、解答题：17～22 小题，共 70 分。

（10 分）计算不定积分 \(\int \frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)} dx\)。
（12 分）设函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续，且 \(\lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - e^{2\sin x} + 1}{\ln(1+x) + \ln(1-x)} = -3\)。证明 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导，并求 \(f'(0)\)。
（12 分）已知平面有界区域 \(D = \{(x,y) \mid y^2 \leq x, x^2 \leq y\}\)，计算二重积分 \(\iint_D (x-y+1)^2 \, dxdy\)。
（12 分）设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内可导。证明：导函数 \(f'(x)\) 在 \((a,b)\) 内严格单调增加的充分必要条件是：对 \((a,b)\) 内任意的 \(x_1, x_2, x_3\)，当 \(x_1 < x_2 < x_3\) 时，有 \(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} < \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\)。
（12 分）设矩阵 \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a & 2 & 3 \end{pmatrix}\) 的秩为 2。
(1) 求 \(a\) 的值；
(2) 求 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量组的一个极大线性无关组 \(\boldsymbol{\alpha, \beta}\)，并求矩阵 \(\boldsymbol{H}\)，使得 \(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{GH}\)，其中 \(\boldsymbol{G} = (\boldsymbol{\alpha, \beta})\)。
（12 分）投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 \(Y\) 与损失额 \(X\) 的关系为 \(Y = \max(0, X-100)\)。已知 \(X\) 的概率密度为 \(f(x) = \frac{2 \times 100^2}{(100+x)^3} \, (x>0)\)。
(1) 求 \(P\{Y>0\}\) 及 \(EY\)；
(2) 设该类损失事件一年内发生的次数 \(N \sim P(8)\)，理赔次数记为 \(M\)。在 \(N=n\) 的条件下，\(M \sim B(n, p)\)，其中 \(p=P\{Y>0\}\)。求 \(M\) 的概率分布。

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2025 年数学（三）真题详细解析

一、选择题（1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分）

1. 答案：C

解析
当 \(x \to 0^+\) 时，

A：\(e^{-\sin x}-1 \sim -\sin x \sim -x\)，不等价；
B：\(\sqrt{x+1}-\cos x \sim 1+\frac{x}{2} - (1-\frac{x^2}{2}) \sim \frac{x}{2}\)，不等价；
C：\(1-\cos\sqrt{2x} \sim \frac{(\sqrt{2x})^2}{2}=x\)，等价；
D：\(1-\frac{\ln(1+x)}{x} \sim 1-(1-\frac{x}{2})=\frac{x}{2}\)，不等价。

故选 C。

2. 答案：B

解析
\(f'(x)=e^{x^2}\sin x\)，在 \(x=0\) 附近，\(x>0\) 时 \(f'>0\)，\(x<0\) 时 \(f'<0\)，故 \(x=0\) 是 \(f\) 的极小值点。
\(g(x)=\left(\int_0^x e^{t^2}dt\right)\sin^2 x\)，\(g'(x)\sim x^2\)，故 \(x=0\) 不是极值点；但 \(g''(x)\) 在 \(x=0\) 两侧变号，所以 \((0,0)\) 是拐点。因此选 B。

3. 答案：D

解析
当 \(k=0\) 时，通项为 \(\frac{(-1)^n}{n}\)，级数条件收敛；
当 \(k\ne 0\) 时，

\[\frac{1}{n}-\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\sim \frac{k}{n^2}, \]

级数绝对收敛。
故敛散性与 \(k\) 的取值有关，选 D。

4. 答案：A

解析
交换积分次序，区域为 \(0\le y\le x\le 1\)，

\[\int_0^1 dy\int_y^1 f(x)\,dx = \int_0^1 dx\int_0^x f(x)\,dy = \int_0^1 x f(x)\,dx. \]

选 A。

5. 答案：A

解析
\(A\) 有 \(k\) 阶非零子式，则 \(\operatorname{rank}(A)\ge k\)。若 \(k=m\)，则 \(\operatorname{rank}(A)\ge m\)，又 \(\operatorname{rank}(A)\le m\)，故 \(\operatorname{rank}(A)=m\)，即行满秩，此时 \(Ax=\beta\) 必有解。选 A。

6. 答案：B

解析
若 \(A\) 可对角化，则 \(A^3-A^2\) 也可对角化（因为 \(A=PDP^{-1}\)，则 \(A^3-A^2=P(D^3-D^2)P^{-1}\)）。
反之不成立，例如 \(A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)，则 \(A^3-A^2=0\) 可对角化，但 \(A\) 不可对角化。
因此是必要但不充分条件，选 B。

7. 答案：B

解析

\[xA+yB= \begin{pmatrix} x+y & 2x\\ -2x+y & a(y-x) \end{pmatrix}, \]

其行列式

\[f(x,y)=(4-a)x^2-2xy+a y^2. \]

对应矩阵 \(\begin{pmatrix}4-a & -1\\ -1 & a\end{pmatrix}\) 正定，需

\[4-a>0,\quad a>0,\quad a(4-a)-1>0, \]

解得

\[2-\sqrt3<a<2+\sqrt3. \]

故选 B。

8. 答案：D

解析
设 \(\operatorname{Cov}(X,Y)=c\)。由 \(X\) 与 \(X+2Y\) 不相关：

\[\operatorname{Cov}(X,X+2Y)=\operatorname{Var}(X)+2c=1+2c=0 \Rightarrow c=-\frac12. \]

则

\[\operatorname{Cov}(X,X-Y)=\operatorname{Var}(X)-c=1+\frac12=\frac32, \]

\[\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)-2c=1+2+1=4, \]

9. 答案：C

解析
\(X_i\sim B(1,0.1)\)，\(T=\sum X_i\sim B(20,0.1)\)，泊松近似 \(\lambda=np=2\)，

\[P(T\le1)\approx e^{-2}+2e^{-2}=\frac{3}{e^2}. \]

选 C。

10. 答案：C

解析
经验分布函数

\[F_n(x)=\frac1n\sum_{i=1}^n I(X_i\le x), \]

每个 \(I(X_i\le x)\sim B(1,F(x))\)，独立，故

\[D(F_n(x))=\frac1n F(x)(1-F(x)). \]

选 C。

二、填空题（11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分）

11. 答案：\(y=3\)，\(y=-3\)

解析
\(f(x)=\frac12\ln\frac{3+x}{3-x}\) 的定义域 \((-3,3)\)，值域 \(\mathbb R\)。
当 \(x\to3^-\) 时 \(f(x)\to+\infty\)，当 \(x\to-3^+\) 时 \(f(x)\to-\infty\)，故原函数有垂直渐近线 \(x=\pm3\)。
反函数 \(g(x)\) 的渐近线为 \(y=3\) 和 \(y=-3\)。

12. 答案：\(a=1\)

解析

\[\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(x+a)(2x+a)} = \frac1a\ln 2 \]

（分解后计算得）。令 \(\frac1a\ln2=\ln2\)，得 \(a=1\)。

13. 答案：\(y=-x e^x\)

解析

\[xy'-y=-x^2e^x \Rightarrow y'-\frac1x y=-x e^x, \]

积分因子 \(\mu=\frac1x\)，得

\[\left(\frac{y}{x}\right)'=-e^x \Rightarrow \frac{y}{x}=-e^x+C, \]

代入 \(y(1)=-e\) 得 \(C=0\)，故 \(y=-x e^x\)。

14. 答案：\(\frac18\)

解析
由 \(z+\ln z-\int_0^{x+y^2} e^{-t^2}dt=1\)，在 \((0,0)\) 处有 \(z=1\)。
令 \(u=x+y^2\)，则

\[z_x=\frac{e^{-u^2}}{1+1/z}, \]

在 \((0,0)\) 得 \(z_x=\frac12\)。再求二阶偏导：

\[z_{xx}=-2u e^{-u^2}(1+1/z)^{-1} +e^{-u^2}\frac{1}{z^2}(1+1/z)^{-2}z_x, \]

代入 \((0,0)\)：\(u=0,z=1,z_x=\frac12\)，得

\[z_{xx}=0+1\cdot\frac1{1^2}\cdot\left(\frac12\right)^2\cdot\frac12=\frac18. \]

15. 答案：\(2\)

解析
矩阵

\[f(x)= \begin{vmatrix} x&1&1&1\\ 1&x&1&1\\ 1&1&x&1\\ 1&1&1&x \end{vmatrix} =(x+3)(x-1)^3, \]

令 \(f(x)=0\) 得 \(x=-3\) 或 \(x=1\)，共 \(2\) 个不同根。

16. 答案：\(\frac23\)

解析
\(P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)\)（\(AC=\varnothing\)）

\[=\frac14+\frac12+\frac14-\frac18-\frac18=\frac34. \]

恰有一个发生的概率

\[P(\text{恰一个})=P(A\bar B\bar C)+P(\bar A B\bar C)+P(\bar A\bar B C) =\frac18+\frac14+\frac18=\frac12. \]

条件概率

\[\frac{1/2}{3/4}=\frac23. \]

三、解答题（17～22 小题，共 70 分）

17.（10 分）

计算

\[\int \frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)}\,dx. \]

解
设

\[\frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+2}, \]

解得

\[A=\frac15,\quad B=-\frac15,\quad C=\frac35. \]

于是

\[\begin{aligned} 原式&=\frac15\int\frac{dx}{x+1} +\int\frac{-\frac15x+\frac35}{x^2-2x+2}dx\\ &=\frac15\ln|x+1| +\frac1{10}\ln(x^2-2x+2) -\frac25\arctan(x-1)+C. \end{aligned} \]

18.（12 分）

证明 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导，并求 \(f'(0)\)。

解
已知

\[\lim_{x\to0}\frac{x f(x)-e^{2\sin x}+1}{\ln(1+x)+\ln(1-x)}=-3. \]

分母 \(\ln(1+x)+\ln(1-x)=\ln(1-x^2)\sim -x^2\)。
利用 \(e^{2\sin x}=1+2x+2x^2+o(x^2)\)，分子化为

\[x f(x)-2x-2x^2+o(x^2)=x(f(x)-2)-2x^2+o(x^2). \]

原极限

\[\lim_{x\to0}\frac{x(f(x)-2)-2x^2+o(x^2)}{-x^2+o(x^2)} =2-\lim_{x\to0}\frac{f(x)-2}{x}=-3, \]

故

\[\lim_{x\to0}\frac{f(x)-2}{x}=5. \]

又因 \(f\) 连续，得 \(f(0)=2\)，且

\[f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{f(x)-2}{x}=5. \]

19.（12 分）

计算

\[\iint_D (x-y+1)^2\,dxdy,\quad D=\{y^2\le x,\;x^2\le y\}. \]

解
区域 \(D\)：\(0\le x\le1,\;x^2\le y\le \sqrt{x}\)。

\[I=\int_0^1 dx\int_{x^2}^{\sqrt{x}}(x-y+1)^2dy =\frac13\int_0^1\left[(1+x-x^2)^3-(1+x-\sqrt{x})^3\right]dx. \]

计算两个积分：

\[\int_0^1 (1+x-x^2)^3 dx=\frac{45}{28}, \]

\[\int_0^1 (1+x-\sqrt{x})^3 dx=\frac{83}{140}. \]

因此

\[I=\frac13\left(\frac{45}{28}-\frac{83}{140}\right) =\frac13\cdot\frac{142}{140} =\frac{71}{210}. \]

20.（12 分）

证明导函数 \(f'(x)\) 在 \((a,b)\) 内严格单调增加的充要条件是：对任意 \(x_1<x_2<x_3\)，有

\[\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}. \]

证明
充分性：若 \(f'\) 严格增，则由拉格朗日中值定理，存在 \(\xi_1\in(x_1,x_2)\)，\(\xi_2\in(x_2,x_3)\)，使得

\[\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi_1),\quad \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=f'(\xi_2), \]

且 \(\xi_1<\xi_2\)，故 \(f'(\xi_1)<f'(\xi_2)\)，不等式成立。

必要性：若不等式对任意 \(x_1<x_2<x_3\) 成立，则函数 \(f\) 在区间上的差商关于区间严格递增。取任意 \(u<v\)，令 \(x_1\to u\)，\(x_3\to v\)，并取中间点，可得

\[f'(u)\le f'(v) \]

（严格性由不等式严格及连续性推出）。具体地，固定 \(u<v\)，取 \(x_2\) 为 \(u,v\) 之间任一点，令 \(x_1\to u^+\)，\(x_3\to v^-\)，得 \(f'(u)\le f'(v)\)；再取更细的划分可证严格，故 \(f'\) 严格单调增加。

21.（12 分）

设

\[A=\begin{pmatrix} 1&-1&3&0&-1\\ -1&0&-2&-a&-1\\ 1&1&a&2&3 \end{pmatrix} \]

的秩为 2。
（1）求 \(a\)；
（2）求列向量组的极大无关组 \(\alpha,\beta\)，并求 \(H\) 使 \(A=GH\)，其中 \(G=(\alpha,\beta)\)。

解
（1）对 \(A\) 作初等行变换：

\[\begin{pmatrix} 1&-1&3&0&-1\\ 0&-1&1&-a&-2\\ 0&0&a-1&2-2a&0 \end{pmatrix}. \]

秩为 2，则第三行全为 0，故

\[a-1=0,\quad 2-2a=0 \Rightarrow a=1. \]

（2）当 \(a=1\) 时，取第 1、2 列为极大无关组：

\[\alpha=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix},\quad \beta=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}. \]

设 \(G=(\alpha,\beta)\)，解 \(Gc=A_j\)（\(A_j\) 为 \(A\) 的第 \(j\) 列），得

\[H= \begin{pmatrix} 1&0&2&1&1\\ 0&1&-1&1&2 \end{pmatrix}. \]

验证 \(A=GH\) 成立。

22.（12 分）

（1）求 \(P\{Y>0\}\) 及 \(EY\)；
（2）若 \(N\sim P(8)\)，且 \(N=n\) 时 \(M\sim B(n,p)\)，\(p=P\{Y>0\}\)，求 \(M\) 的分布。

解
（1）

\[p=P\{Y>0\}=P\{X>100\} =\int_{100}^{+\infty}\frac{2\cdot100^2}{(100+x)^3}dx =\frac14. \]

\[EY=\int_{100}^{+\infty}(x-100)f(x)dx=50. \]

（2）由题意，\(M\) 为复合泊松过程，其概率生成函数满足

\[P(M=m)=\sum_{n=m}^{\infty}P(N=n)\binom{n}{m}p^m(1-p)^{n-m}\\ \begin{aligned} &=\sum_{n=m}^{\infty} e^{-8}\frac{8^n}{n!}\cdot \frac{n!}{m!(n-m)!}p^m(1-p)^{n-m} \\ &=e^{-8}\frac{(8p)^m}{m!} \sum_{n=m}^{\infty}\frac{[8(1-p)]^{n-m}}{(n-m)!} \\ &=e^{-8}\frac{(8p)^m}{m!}e^{8(1-p)} \\ &=e^{-8p}\frac{(8p)^m}{m!}. \end{aligned}\\. \]

代入 \(p=\frac14\)，\(N\sim P(8)\)，计算得

\[P(M=m)=e^{-8p}\frac{(8p)^m}{m!}=e^{-2}\frac{2^m}{m!},\quad m=0,1,2,\dots \]

即 \(M\sim P(2)\)。