为什么cos(π/2+t)=sinx(-x)

要理解为什么cos⁡(π2x)sin⁡(−x)\cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) \sin(-x)cos(2π​x)sin(−x)我们可以从代数代换、三角公式以及几何直观三个维度来进行推导和解释。这正好可以解答您在书中划线和写下问号的两个地方。一、 代换逻辑解答图中的“问号”书中的逻辑是通过已知的三角恒等式利用变量代换来直接得出结论的已知恒等式cos⁡(π2−θ)sin⁡(θ)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \sin(\theta)cos(2π​−θ)sin(θ)(这里为了避免混淆先将自变量写作θ\thetaθ)进行代换如果我们把上式中所有的θ\thetaθ都用−t-t−t来替换那么等式左边变为cos⁡(π2−(−t))cos⁡(π2t)\cos\left(\frac{\pi}{2} - (-t)\right) \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right)cos(2π​−(−t))cos(2π​t)等式右边变为sin⁡(−t)\sin(-t)sin(−t)得出结论因为等式两边进行了相同的代换所以等号依然成立cos⁡(π2t)sin⁡(−t)\cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) \sin(-t)cos(2π​t)sin(−t)如果把变量名ttt换回xxx即得cos⁡(π2x)sin⁡(−x)\cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) \sin(-x)cos(2π​x)sin(−x)二、 经典的数学公式推导和角公式法如果您不使用上面的代换法也可以直接使用余弦和角公式来进行独立推导余弦的和角公式为cos⁡(αβ)cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \beta) \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\betacos(αβ)cosαcosβ−sinαsinβ我们将απ2\alpha \frac{\pi}{2}α2π​βx\beta xβx代入公式中cos⁡(π2x)cos⁡π2cos⁡x−sin⁡π2sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) \cos\frac{\pi}{2}\cos x - \sin\frac{\pi}{2}\sin xcos(2π​x)cos2π​cosx−sin2π​sinx因为cos⁡π20\cos\frac{\pi}{2} 0cos2π​0sin⁡π21\sin\frac{\pi}{2} 1sin2π​1代入计算可得cos⁡(π2x)0⋅cos⁡x−1⋅sin⁡x−sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) 0 \cdot \cos x - 1 \cdot \sin x -\sin xcos(2π​x)0⋅cosx−1⋅sinx−sinx又因为正弦函数是奇函数满足sin⁡(−x)−sin⁡x\sin(-x) -\sin xsin(−x)−sinx所以cos⁡(π2x)sin⁡(−x)\cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) \sin(-x)cos(2π​x)sin(−x)三、 补充为什么cos⁡(π2−x)sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \sin xcos(2π​−x)sinx解答图中的“为什么”对于图里划线的第一个公式cos⁡(π2−x)sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \sin xcos(2π​−x)sinx在初中或高中的直角三角形中非常容易理解在一个直角三角形中如果其中一个锐角为xxx那么另一个锐角必然是π2−x\frac{\pi}{2} - x2π​−x即90∘−x90^\circ - x90∘−x。对于角xxx来说sin⁡x对边斜边\sin x \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}sinx斜边对边​。对于角(π2−x)\left(\frac{\pi}{2} - x\right)(2π​−x)来说它的邻边恰好就是角xxx的对边因此根据定义cos⁡(π2−x)邻边斜边角 x 的对边斜边\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} \frac{\text{角 } x \text{ 的对边}}{\text{斜边}}cos(2π​−x)斜边邻边​斜边角x的对边​。所以cos⁡(π2−x)sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \sin xcos(2π​−x)sinx