直线与圆相切

答案：E（$\dfrac{1+\sqrt5}{2}$）

相切 ⟺ 圆心到直线的距离 = 半径

直线：$y-ax=0$，写成 $ax-y=0$。 圆：$(x-a)^2+y^2=1$，圆心 $(a,0)$，半径 $r=1$。

圆心 $(a,0)$ 到直线 $ax-y=0$ 的距离：

$$d=\frac{|a\cdot a-0|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}$$

相切时 $d=r=1$：

$$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}=1 ;\Longrightarrow; a^2=\sqrt{a^2+1}$$

令 $t=a^2$ 解方程

$$t=\sqrt{t+1};\xrightarrow{\text{平方}}; t^2=t+1 ;\Longrightarrow; t^2-t-1=0$$

$$t=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$

因为 $t=a^2\ge0$，取正根：

$$a^2=\frac{1+\sqrt5}{2}$$

所以选 E。

提醒：

• 点到直线距离公式里，分母是 $\sqrt{a^2+1}$（系数是 $a$ 和 $-1$），别漏掉那个 $1$。
• 平方后要舍去负根 $\dfrac{1-\sqrt5}{2}<0$，因为 $a^2$ 不能为负。

 

 

补充完整的来龙去脉，把这道题背后的直线与圆相切彻底讲透。

一、几何背景：直线与圆的三种位置关系

判断直线与圆的关系，只看圆心到直线的距离 $d$ 和半径 $r$ 谁大谁小：

位置关系	判定	交点个数
相离	$d>r$	0
相切	$d=r$	1
相交	$d<r$	2

所以"相切"翻译成代数语言就是一句话：

$$\boxed{d=r}$$

二、点到直线的距离公式

点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离：

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

用法要点：直线必须先写成 $Ax+By+C=0$ 的标准形式，$A,B$ 是 $x,y$ 的系数，分母是系数平方和开根号。

三、套用到本题

• 直线 $y-ax=0$ 整理成标准形式 $\underbrace{a}{A}x+\underbrace{(-1)}{B}y+\underbrace{0}_{C}=0$
• 圆 $(x-a)^2+y^2=1$：圆心 $C=(a,0)$，半径 $r=1$

圆心 $(a,0)$ 到直线的距离：

$$d=\frac{|a\cdot a+(-1)\cdot 0+0|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}$$

相切条件 $d=r=1$：

$$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}=1$$

这张图就是此刻的几何情形——注意那条从圆心垂直落到直线的距离恰好等于半径：

四、解方程（关键一步：换元）

$$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}=1 ;\Longrightarrow; a^2=\sqrt{a^2+1}$$

令 $t=a^2$（注意 $t\ge 0$），两边平方：

$$t=\sqrt{t+1};\xrightarrow{\text{平方}};t^2=t+1;\Longrightarrow;t^2-t-1=0$$

用求根公式：

$$t=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$

五、验根：为什么舍去一个

平方可能产生增根，必须回头检验。原方程 $t=\sqrt{t+1}$ 要求左边 $t\ge 0$（右边是算术根，非负）。

• $t=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618>0$ ✓ 保留
• $t=\dfrac{1-\sqrt5}{2}\approx-0.618<0$ ✗ 舍去（既不满足 $t\ge0$，也因为 $t=a^2$ 不能为负）

所以

$$a^2=\frac{1+\sqrt5}{2}$$

六、数值验证

$a^2\approx1.618$，代回距离公式：

$$d=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{1.618}{\sqrt{2.618}}=\frac{1.618}{1.618}=1=r \checkmark$$

（这里正好用到 $\sqrt{2.618}=\sqrt{1.618+1}$，而 $1.618^2=2.618$，所以分子分母相等，$d=1$，确实相切。）

七、小结：这类"直线与圆相切"题的固定套路

1. 写标准式：圆 → 找圆心、半径；直线 → 化成 $Ax+By+C=0$。
2. 列距离方程：相切 ⟺ $d=r$，用点到直线距离公式。
3. 解方程：含根号就平方，含 $a^2$ 就整体换元 $t=a^2$。
4. 验根舍负：平方后检验，去掉不合理的根（本题 $a^2\ge0$）。

$$a^2=\frac{1+\sqrt5}{2}\quad\Rightarrow\quad \textbf{选 E}$$

这个值 $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ 就是著名的黄金比例 $\varphi\approx1.618$——它满足 $\varphi^2=\varphi+1$，正好对应我们解的方程 $t^2=t+1$，是个很漂亮的巧合。