曲线相关 - ace-

下面把这类题会用到的曲线方程做一个系统梳理。核心就一句话，其余都是常见曲线的"长相"。

一、最核心的原理

点在曲线上 ⟺ 该点坐标代入方程后等式成立。

第19题用的就是这个：曲线过 $(1,0)$，就把 $x=1,\ y=0$ 代进 $y=x^3-6x^2+bx+a$，得到一个关于 $a,b$ 的方程。"过某点"永远等价于"坐标满足方程"——这是所有解析几何题的入口。

二、联考/考研常见曲线方程

1. 直线

形式	方程	说明
斜截式	$y=kx+b$	$k$ 斜率，$b$ 纵截距
点斜式	$y-y_0=k(x-x_0)$	过 $(x_0,y_0)$ 斜率 $k$
一般式	$Ax+By+C=0$	万能形式
截距式	$\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}=1$	过 $(p,0),(0,q)$

2. 圆

$$（x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$

圆心 $(h,k)$，半径 $r$。一般式 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，圆心 $\left(-\frac D2,-\frac E2\right)$，$r=\frac12\sqrt{D^2+E^2-4F}$。

3. 三种圆锥曲线（中心/顶点在原点的标准式）

曲线	标准方程	关键量
椭圆	$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$	$a>b>0$，$c=\sqrt{a^2-b^2}$
双曲线	$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$	渐近线 $y=\pm\frac ba x$，$c=\sqrt{a^2+b^2}$
抛物线	$y^2=2px$	焦点 $\left(\frac p2,0\right)$，准线 $x=-\frac p2$

4. 多项式曲线（本题这类）

$$y=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$

• 二次 $y=ax^2+bx+c$：抛物线，顶点 $x=-\frac{b}{2a}$
• 三次 $y=x^3+\cdots$：像第19题，可有 1~2 个极值点、1 个拐点

这是那四种曲线在坐标系里的样子：

三、在"充分性判断"题里的固定套路

这类题（第18、19题）几乎都是同一个流程：

1. 翻译条件：把"过点""相切""对称"等几何语言，用"坐标满足方程"变成 $a,b$ 的代数式。
2. 对照目标：看得到的等式能不能推出题目要的结论。
3. 判充分：能保证 → 充分；不能保证 → 举反例说明不充分。

第19题就是：

• 过 $(1,0)$ → $a+b-5=0$（正好命中第一个因子）→ 充分
• 过 $(-1,0)$ → $a-b=7$，使 $a-b-5=2\neq0$，另一个因子又不定 → 不充分

四、几个高频"几何语言 → 方程"对照

几何条件	代数翻译
曲线过点 $(x_0,y_0)$	代入 $x_0,y_0$ 使方程成立
与 $x$ 轴交于某点	令 $y=0$ 解出 $x$
与直线相切	联立后判别式 $\Delta=0$
有极值点	$y'=0$ 有实根
关于 $y$ 轴对称	方程满足 $f(-x)=f(x)$

需要的话，我可以针对圆锥曲线的焦点、离心率或三次函数的极值与图象再单独展开，这两块是联考里另一类常考点。