自动控制原理笔记——线性系统的频域分析法（上）

目录前言一、频率特性1. 定义2. 特性3. 几何表示法二、典型环节的频率特性1. 比例环节2. 微分环节3. 积分环节4. 一阶环节5.二阶环节6. 小小总结一手三、开环对数频率特性曲线步骤一转换形式步骤二分段绘制1. 典型环节频段图像绘制1找出交接频率2由点及线2. 截止频率3. 低频段绘制1找斜率2找点预告Tips如何面对失败能把人分成了不同的样子所以若连破釜沉舟的勇气都没有又怎配谈及星辰与远方。——致FYT当下与未来前言之前我们所谈到的时域分析‌直接反映信号在时间轴上的行为如动态性能、稳差适用于‌观测真实波形或系统阶跃响应‌等实际测量与调试场景。而频域分析‌将信号分解为正弦分量可以揭示‌带宽、谐波、噪声分布或系统频率响应‌优势在于可以兼顾动态响应与噪声抑制两方面的要求同时推广应用于某些非线性控制系统。简言之‌时域是“真实世界的窗口”频域是“问题的解剖刀”——对症下药即可。由于进入频域分析领域所涉及的知识点相较于时域分析就大为抽象因此大家可以抓住重点结论来看即可一些底层数学逻辑或公式可以暂且放一放O(∩_∩)~一、频率特性1. 定义频率特性系统在正弦信号作用下的稳态反映。因为所以——称为系统的振幅频率特性即幅频特性称为系统的相位频率特性即相频特性。解释一下有的童鞋可能会有的困惑——s的实部去哪了正是由于是系统的稳态反映所以可以直接令sjw因为s-σjw已经全部为瞬态分量忽略了。2. 特性1尽管频率特性是一种稳态响应但动态过程中的稳态分量总是可以分离出来的且其规律性并不依赖于系统的稳定性因此频率特性的概念可以扩展为在正弦输入信号下线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比2由频率特性的表达式Φ(jω)可知其中包含了系统或元部件的全部动态结构和参数故尽管频率特性是一种稳态响应但动态过程的规律性必将寓于其中3频率法是运用稳态的频率特性间接研究系统的动态响应从而避免直接求解高阶微分方程的困难。3. 几何表示法这一部分会放在开环系统的频域特性与频域稳定判据部分细说目前了解概念即可1幅相频率特性曲线(极坐标图)——Nyquist图奈奎斯特图在从频域维度判定系统稳定性时大有用处这里举个栗子显然有表明该系统的幅相曲线是以为圆心半径为1/2的半圆。2对数频率特性曲线-Bode图由对数幅频曲线和对数相频曲线组成在调整系统稳定性与鲁棒性制衡关系时有很大的用处调整截止频率横坐标按照对数分度下的频率进行刻画即单位为rad/s对数幅频曲线的纵坐标按照进行刻画单位为dB对数相频曲线的纵坐标按照进行度量单位为度°3对数幅相图-Nichols图——使用情况很少没必要展开了哈哈^_^二、典型环节的频率特性注意各环节在Bode图中体现的斜率1. 比例环节在Bode图上反映为2. 微分环节在Bode图上反映为3. 积分环节在Bode图中反映为4. 一阶环节一阶环节包括惯性环节、一阶微分环节。1惯性环节在Bode图上反映为精准计算实际上可以近似为时转折点为称为交接频率具体如图所示2一阶微分环节与惯性环节完全类似图像为关于横轴对称同学们自行推导理解即可这里不再赘述。5.二阶环节二阶环节包括振荡环节、二阶微分环节。1振荡环节由上式我们能得到。因此我们同样可以简化得到那么还有一个特殊的点我们对求导取出极值点就可以得到谐振频率其中为T的倒数此时对应的振幅为在Bode图上呈现如下2二阶微分环节同理与振荡环节类比图像完全对称。6. 小小总结一手1对于互为倒数的典型环节对数幅频曲线关于0dB对称对数相频曲线关于0°线对称2前文好几处所谓的近似处理实际上是真实图像的渐进线了解了各典型环节的曲线类型就可以对复杂系统进行拆分得到典型环节的组合形式最终得到完整系统的Bode图进而对系统进行性质分析或系统校正第六章重点敬请期待……三、开环对数频率特性曲线这里先着重讲解怎么根据传递函数绘制Bode图像以及根据图像反写传递函数关于“看图说话”——了解系统性能和优化系统放在后面再细嗦。这里只放干货推导细节可以自行了解哈步骤一转换形式将系统开环传函写成时间常数式即“后1”式明确系统开环增益K和系统型别v步骤二分段绘制1. 典型环节频段图像绘制1找出交接频率一阶环节惯性环节一阶微分环节二阶环节振荡环节、二阶微分环节注意对于类二阶环节即必须验证其与0的关系如果大于零则必须分解成两个一阶环节。2由点及线按照从小到大顺序排列交接频率明确出各交接位置根据各环节斜率变化逐一绘制直线每经过一个交接频率斜率做累计变化不清楚斜率的返回去看本章第二大点哈……。2. 截止频率还需要确定的一个东西就是图像与轴的交点即截止频率大家很明确就是求解这个方程的解但是如果你要精确计算确实计算量很大。本质上Bode图的绘制基本上是渐近线的体现所以我们使用“抓大头”的方式进行求解截止频率也可以达到很好的效果不会对我们后续分析系统带来影响。我们已经排列好了交接频率截止频率无非就是在这个交接频率序列其中两个的区间之中因此我们可以依次进行假设直到求出正解——举个栗子排出转折频率①假设那么很显然分母的第二三部分都趋近于1即方程转换为解为30rad/s不在范围舍弃②假设同理分母的第三部分都趋近于1而第一、二部分中“1”不起作用即方程转换为解为12.24rad/s不在范围舍弃③假设同理分母的三部分中“1”都不起作用即方程转换为解为11.44rad/s在范围满足假设需求综上该系统截止频率3. 低频段绘制分为两步找点、找斜率1找斜率低频段斜率为-20vdB/dec原因也很简单因为此时斜率取决于2找点假设最小交接频率为则在的频段内我们没有任何参考点了这个时候就需要一个特殊点A。可以根据具体情况找两种fix point完成Bode图的大致绘制。假设我们要求的是特殊点频率为则根据我们刚才所说的“抓大头”的思路此时会有①取可以解得②取则有定点。这里需要一点小说明可能会遇到1不在低频段的情况此时需要做的是将低频段的线按照刚得出来的斜率延长交于这一点即可。所以一般这个点用于已知Bode图求解传递函数参数时使用较多。预告幅相频率特性曲线——Nyquist图的讲解我打算放在下一节——频域稳定判据里面一起来讲自我感觉这样会更连贯一点。那么就敬请期待“自动控制原理笔记——线性系统的频域分析法下”吧O(∩_∩)O~Tips很抱歉小半年没有更新鄙人上半年有两次很重要的比赛在准备无论结果如何是对我和所有学弟学妹们的一次考验希望FYT未来越来越好英雄组重回巅峰。