不变因子 初等因子 行列式因子 smith标准型

酉矩阵 H-阵等等

$A^H=A$ 就是 H-阵

正定H阵的性质

若 $A$ 为正定的H-阵.

1. 存在可逆矩阵 $Q$， 使得 $A=Q^{H}Q$.
2. 存在$P$, 使得$P^{H}AP=I$.
3. A的特征值大于0.
4. $Q^{-1}AQ$ 也是正定H-阵.

schmidt正交化

$[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n]$，需要将其正交化，计算过程如下：
$$\begin{array}{rl}{\beta }_1& ={\alpha }_1\\ {\beta }_2& ={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1\\ ⋮& \\ {\beta }_i& ={\alpha }_i-\frac{({\alpha }_i,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_i,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2-\cdots -\frac{({\alpha }_i,{\beta }_{i-1})}{({\beta }_{i-1},{\beta }_{i-1})}{\beta }_{i-1}\end{array}$$

投影变换

例题：已知$R^3$ 中向量 $a=(1,0,0)$ ，$\beta =(2,0,3)$，则向量 $x=(x_1,x_2,x_3)\in R^3$ 在子空间 s p a n { α , β } span\{\alpha,\beta\} span{α,β} 上的正交投影为？
先将 α , β 标准正交化 为 η 1 = [ 1 , 0 , 0 ] T , η 2 = [ 0 , 0 , 1 ] T U = [ η 1 , η 2 ] 投影算子 P = U U H 向量 x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 在子空间 s p a n { α , β } 上的正交投影为： P x = U U H x = [ 1 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 0 1 ] [ x 1 , x 2 , x 3 ] T = [ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ] [ x 1 , x 2 , x 3 ] T = ( x 1 , 0 , x 3 ) \begin{aligned} 先将\alpha, \beta \boldsymbol{标准正交化}为\eta_1&=[1,0,0]^T, \eta_2=[0,0,1]^T\\ U &= [\eta_1, \eta_2] \\ \boldsymbol{投影算子}& \boldsymbol{P=UU^H} \\ 向量 x=(x_1,x_2,x_3 )\in{R^3} &在子空间span\{\alpha,\beta\} 上的正交投影为：\\ Px&=UU^Hx\\ &= { \left [ \begin {matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end {matrix} \right ] } { \left [ \begin {matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end {matrix} \right ] } { [x_1,x_2,x_3]^T } \\&= \left[ \begin{matrix} 1 & 0&0 \\ 0 & 0 &0\\ 0 & 0 &1\\ \end{matrix} \right ] [x_1,x_2,x_3]^T \\&= (x_1,0,x_3) \end{aligned} 先将α,β标准正交化为η1​U投影算子向量x=(x1​,x2​,x3​)∈R3Px​=[1,0,0]T,η2​=[0,0,1]T=[η1​,η2​]P=UUH在子空间span{α,β}上的正交投影为：=UUHx= ​100​001​ ​[10​00​01​][x1​,x2​,x3​]T= ​100​000​001​ ​[x1​,x2​,x3​]T=(x1​,0,x3​)​

矩阵分解

奇异值分解

ref

谱分解

要求$A$ 为正规矩阵，即$A^{H}A=A{A}^H$
$$\begin{array}{rl}A& =[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n]\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1^H\\ {\alpha }_2^H\\ ⋮\\ {\alpha }_n^H\end{array}\right]\\ & ={\lambda }_1{\alpha }_1{\alpha }_1^H+{\lambda }_2{\alpha }_2{\alpha }_2^H+\cdots +{\lambda }_n{\alpha }_n{\alpha }_n^H\\ & =\sum _{i=1}^r{\lambda }_i\sum _{j=1}^{n_i}{\alpha }_{ij}{\alpha }_{ij}^H\\ & =\sum {\lambda }_i{G}_i\end{array}$$

正交三角分解（UR分解）

不看了，困了。。

范数

向量范数

1. 非负性
2. 齐次性：$||k\alpha ||=|k||\alpha ||$，k为任意复数。
3. 三角不等式：$任取\alpha ，\beta ，有||\alpha +\beta ||\le ||\alpha ||+||\beta ||$

2-范数：$||\alpha |{|}_2=({\sum }_{i=1}^n|a_i{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$=$({\alpha }^H\alpha {)}^{\frac{1}{2}}$

矩阵范数

1. 非负性：$当A\ne 0,||A||>0$，当且仅当$A=0,||A||=0$
2. 齐次性：||kA||=|k|||A||，k为任意复数
3. 三角不等式：$任取A，B\in C^{m\times n}，有||A+B||\le ||A||+||B||$
4. 矩阵乘法的相容性：任意 $A,B,||AB||\le ||A||||B||$

做题时：1，2，3点都好证明。
相容性需要进行一点变换：
如：

矩阵函数

求矩阵函数方法一：$求得J和相似变换矩阵P$

求矩阵函数方法二：$利用最小多项式m(\lambda )$

三角和指数矩阵函数

函数矩阵

会求导积分就行。