【高中数学/立体几何】三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，▲PAB和▲ABC均为边长为2的正三角形，问三棱锥P-ABC外接球的半径是多少？-拓冰建站

【问题】

三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，▲PAB和▲ABC均为边长为2的正三角形，问三棱锥P-ABC外接球的半径是多少？

【解一】

找PC中点E，连DE，球心F必在DE上。

设FE=x，外接球半径为r，有

FP=FC=r=FB=FA(上图蓝线)

FP=FB=r

FP*FP=FB*FB

PE^2+EF^2=DF^2+DB^2

(根号6/2)^2+x^2=(根号6/2+x)^2+1

得到x=-1/根号6

r^2=EF^2+EP^2=(-1/根号6)^2+(根号6/2)^2=1/6+6/4=5/3

所以，r=(根号15)/3

最终的实际图像：

【解法二】

找到▲PAC的重心o1,▲ABC的重心o2,过o1做▲PAC的垂线，过o2做▲ABC的垂线，外接球的球心必在两垂线焦点上，设为o3.

DO1=DO2=根号3/3

Do3=根号2*根号3/3=根号6/3

r^2=DO3^2+DB^2=6/9+1=5/3

所以，r=(根号15)/3

【结论】

两种解法结果可互为印证，第二种更巧妙，更省时。

【绘制图像的Canvas代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head><title>两正三角形形成的三棱锥求外接球半径 Draft4</title><style type="text/css">.centerlize{margin:0 auto;width:1200px;}</style></head><body οnlοad="init();"><div class="centerlize"><canvas id="myCanvas" width="12px" height="12px" style="border:1px dotted black;">如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.</canvas></div></body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码(从<!DOCTYPE到script>)拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，
* 另存为.html文件，再用chrome浏览器打开，就能看到实现效果。
******************************************************************/// canvas的绘图环境
var ctx;// 高宽
const WIDTH=512;
const HEIGHT=512;// 舞台对象
var stage;//-------------------------------
// 初始化
//-------------------------------
function init(){// 获得canvas对象var canvas=document.getElementById('myCanvas');  canvas.width=WIDTH;canvas.height=HEIGHT;// 初始化canvas的绘图环境ctx=canvas.getContext('2d');  ctx.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);// 原点平移// 准备stage=new Stage();    stage.init();// 开幕animate();
}// 播放动画
function animate(){    stage.update();    stage.paintBg(ctx);stage.paintFg(ctx);     // 循环if(true){//sleep(100);window.requestAnimationFrame(animate);   }
}// 舞台类
function Stage(){// 初始化this.init=function(){}// 更新this.update=function(){    }// 画背景this.paintBg=function(ctx){ctx.clearRect(-WIDTH/2,-HEIGHT/2,WIDTH,HEIGHT);// 清屏    }// 画前景this.paintFg=function(ctx){// 底色ctx.save();ctx.fillStyle = "white";ctx.fillRect(-WIDTH/2,-HEIGHT/2,WIDTH,HEIGHT);        ctx.restore();        const R=210;//基准尺寸    // #1ctx.save();    var r=R*1.00;var a=createPt(-r,0);var d=createPt2(a.x,a.y,r/Math.sqrt(2),Math.PI/4);var p=createPt2(d.x,d.y,r/Math.sqrt(2)*Math.sqrt(3),-Math.PI/2);var b=createPt2(a.x,a.y,r/Math.sqrt(2)*2,Math.PI/4);var c=createPt(r,0);var ratio=1/3;var o1=createPt(d.x+(p.x-d.x)*ratio,d.y+(p.y-d.y)*ratio);var o2=createPt(d.x+(c.x-d.x)*ratio,d.y+(c.y-d.y)*ratio);var e=createPt(c.x/2+p.x/2,c.y/2+p.y/2);var ratio=1.5;var o3=createPt(d.x+(e.x-d.x)/ratio,d.y+(e.y-d.y)/ratio);ctx.save();// PABctx.strokeStyle="black";ctx.beginPath();ctx.moveTo(a.x,a.y);ctx.lineTo(b.x,b.y);ctx.lineTo(p.x,p.y);ctx.closePath();ctx.stroke();ctx.restore();ctx.save();// PCBctx.strokeStyle="black";ctx.beginPath();ctx.moveTo(p.x,p.y);ctx.lineTo(c.x,c.y);ctx.lineTo(b.x,b.y);ctx.stroke();ctx.restore();ctx.save();// ACctx.strokeStyle="black";ctx.setLineDash([5,5]);ctx.beginPath();ctx.moveTo(a.x,a.y);ctx.lineTo(c.x,c.y);ctx.stroke();ctx.restore();ctx.save();// PDctx.strokeStyle="black";//ctx.setLineDash([5,5]);ctx.beginPath();ctx.moveTo(d.x,d.y);ctx.lineTo(p.x,p.y);ctx.stroke();ctx.restore();ctx.save();// dcctx.strokeStyle="black";ctx.setLineDash([5,5]);ctx.beginPath();ctx.moveTo(d.x,d.y);ctx.lineTo(c.x,c.y);ctx.stroke();ctx.restore();ctx.save();// o1o3ctx.strokeStyle="black";ctx.setLineDash([5,5]);ctx.beginPath();ctx.moveTo(o1.x,o1.y);ctx.lineTo(o3.x,o3.y);ctx.stroke();ctx.restore();ctx.save();// o2o3ctx.strokeStyle="black";ctx.setLineDash([5,5]);ctx.beginPath();ctx.moveTo(o2.x,o2.y);ctx.lineTo(o3.x,o3.y);ctx.stroke();ctx.restore();ctx.save();// a o3ctx.strokeStyle="blue";//ctx.setLineDash([5,5]);ctx.beginPath();ctx.moveTo(a.x,a.y);ctx.lineTo(o3.x,o3.y);ctx.stroke();ctx.restore();ctx.save();// B o3ctx.strokeStyle="blue";//ctx.setLineDash([5,5]);ctx.beginPath();ctx.moveTo(b.x,b.y);ctx.lineTo(o3.x,o3.y);ctx.stroke();ctx.restore();// 标注点writeText(ctx,a.x,a.y,"A",r*0.1+"px consolas","black");writeText(ctx,b.x,b.y,"B",r*0.1+"px consolas","black");writeText(ctx,c.x,c.y,"C",r*0.1+"px consolas","black");writeText(ctx,d.x,d.y,"D",r*0.1+"px consolas","black");writeText(ctx,p.x,p.y,"P",r*0.1+"px consolas","black");writeText(ctx,o1.x,o1.y,"o1",r*0.1+"px consolas","black");writeText(ctx,o2.x,o2.y,"o2",r*0.1+"px consolas","black");writeText(ctx,o3.x,o3.y,"o3",r*0.1+"px consolas","black");ctx.restore();        writeText(ctx,WIDTH/2-30,HEIGHT/2-5,"逆火制图","8px consolas","lightgrey");// 版权}
}/*----------------------------------------------------------
函数:用于绘制矩形
ctx:绘图上下文
x:矩形中心横坐标
y:矩形中心纵坐标
width:矩形宽
height:矩形高
----------------------------------------------------------*/
function drawRect(ctx,x,y,width,height){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x-width/2,y-height/2);ctx.lineTo(x+width/2,y-height/2);ctx.lineTo(x+width/2,y+height/2);ctx.lineTo(x-width/2,y+height/2);ctx.closePath();
}/*----------------------------------------------------------
函数:用于绘制实心圆
ctx:绘图上下文
x:矩形中心横坐标
y:矩形中心纵坐标
r:圆半径
style:填充圆的方案
----------------------------------------------------------*/
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,style){ctx.fillStyle=style;ctx.beginPath();ctx.arc(x,y,r,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.fill();
}/*----------------------------------------------------------
函数:创建一个二维坐标点
baseX:基准点横坐标
baseY:基准点纵坐标
radius:当前点到基准点的距离
theta:当前点到基准点的角度
Pt即Point
----------------------------------------------------------*/
function createPt2(baseX,baseY,radius,theta){var retval={};retval.x=baseX+radius*Math.cos(theta);retval.y=baseY+radius*Math.sin(theta);return retval;
}/*----------------------------------------------------------
函数:创建一个二维坐标点
x:横坐标
y:纵坐标
Pt即Point
----------------------------------------------------------*/
function createPt(x,y){var retval={};retval.x=x;retval.y=y;return retval;
}/*----------------------------------------------------------
函数:延时若干毫秒
milliseconds:毫秒数
----------------------------------------------------------*/
function sleep(milliSeconds) {const date = Date.now();let currDate = null;while (currDate - date < milliSeconds) {currDate = Date.now();} 
}/*----------------------------------------------------------
函数:书写文字
ctx:绘图上下文
x:横坐标
y:纵坐标
text:文字
font:字体
color:颜色
----------------------------------------------------------*/
function writeText(ctx,x,y,text,font,color){ctx.save();ctx.textBaseline="bottom";ctx.textAlign="center";ctx.font = font;ctx.fillStyle=color;ctx.fillText(text,x,y);ctx.restore();
}/*-------------------------------------------------------------
当你真的可以靠交易为生，那种状态其实不是兴奋，而是平静。
你不着急证明什么，也不会被行情牵着鼻子走。
你知道自己在做什么，知道什么时候该出手，什么时候该等。
你不再幻想“暴富”，也不再追逐“一单成神”，
而是像个老农一样，播种、等待、收割......
一切按节奏来。
--------------------------------------------------------------*/
//-->
</script>