70. 爬楼梯 （进阶）

1.和之前的组合问题Ⅳ是一样的，没什么好说的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n,m;cin >> n >> m;vector<int> dp(n+1,0);dp[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(i>=j){dp[i]+=dp[i-j];}}}cout << dp[n];
}

322. 零钱兑换

两层for循环决定求的是组合数还是排列数，如果外层循环遍历物品，内层循环遍历背包则求的是组合数。如果外层循环遍历背包，内层循环遍历物品则求的是排列数。而本题求的是最少硬币个数，先背包再物品或先物品再背包都是OK的。

1.先背包再物品，判断条件里面的

dp[i - coins[j]] != INT_MAX

意思是初始值就跳过，如果不加这句的话会出现整数int溢出。因为求取的是最少硬币数量，dp数组除了dp[0]初始化为0，其它部分都初始为最大值INT_MAX。事实上，我们可以把dp数组初始化稍微小一点的值就不会溢出了，这样就不用多加这个判断条件了。

class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 1; i <= amount; i++) {for (int j = 0; j < coins.size(); j++) {if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX) {dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);}}}if (dp[amount] == INT_MAX)return -1;elsereturn dp[amount];}
};

2.先物品再背包，之前我们在做分割等和子集那题时背包没有从1开始，导致一些状态被跳过最后结果错误。为什么本题背包就不用从1开始呢？因为此时的背包是总金额必须比当前的硬币面值大，否则将没有意义，dp数组下标也不可能为负数。此外，本题的判断条件也可以去掉，只需要初始化时值设小一点就可以。例如设成INT_MAX-1就行，因为dp数组是取较小值，而更新部分最多+1，一定不会发生整型溢出。

class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {       // 遍历物品for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包if (dp[j - coins[i]] !=INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);}}}if (dp[amount] == INT_MAX)return -1;return dp[amount];}
};

279.完全平方数

1.先物品在背包，自己版。dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]。先把可能用到的平方数找出来，再用这些平方数填充dp数组，时间开销不是很理想。（dp数组初始化为一个较大的值，最多n个1）

class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n + 1, n);dp[0] = 0;vector<int> nums(101, 0);for (int i = 0; i <= 100; i++) {nums.push_back(i * i);}for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {for (int j = nums[i]; j <= n; j++) {dp[j] = min(dp[j], dp[j - nums[i]] + 1);}}return dp[n];}
};

2.优化版，把可能用到的完全平方数融入到for循环中。

class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n + 1, n);dp[0] = 0;for (int i = 1; i * i <= n; i++) {for (int j = i * i; j <= n; j++) {dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);}}return dp[n];}
};

3.先背包再物品，背包从0开始或者从1开始都是可以的。

class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 0; i <= n; i++) {         // 遍历背包for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);}}return dp[n];}
};

4.数学法。四平方和定理证明了任意一个正整数都可以被表示为至多四个正整数的平方和，感兴趣的去看官方题解。

class Solution {
public:// 判断是否为完全平方数bool isPerfectSquare(int x) {int y = sqrt(x);return y * y == x;}// 判断是否能表示为 4^k*(8m+7)bool checkAnswer4(int x) {while (x % 4 == 0) {x /= 4;}return x % 8 == 7;}int numSquares(int n) {if (isPerfectSquare(n)) {return 1;}if (checkAnswer4(n)) {return 4;}for (int i = 1; i * i <= n; i++) {int j = n - i * i;if (isPerfectSquare(j)) {return 2;}}return 3;}
};

今日总结：假期不再。