梅氏定理和塞瓦定理

一、说明

   在射影几何中，梅涅劳斯（Menelaus）定理和塞瓦定理是非常重要的基本定理。通过这两个定理，可以导出多项结论，如：极点-极线性质、德萨格定理、pascal定理等；本篇专门叙述这两个定理证明。及相关启发。

二、梅涅劳斯（Menelaus）定理

   梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）中。
定理定义
   当一条直线交$\Delta ABC$三边所在的直线$BC,AC,AB$分别于点$D,E,F$时，则有
$$\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1$$

   分析：显然，$D,E,F$分别为线段$BC,AC,AB$的定比分点。因此：
$$\frac{AF}{FB}={\lambda }_1;\frac{BD}{DC}={\lambda }_2;\frac{CE}{EA}={\lambda }_3$$
因此，等价说法是：
$${\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=1$$
[定理证明]

   过点A作$AG\parallel DB$交$BC$的延长线于G点, 则:
$$\frac{AF}{FB}={\lambda }_1=\frac{DG}{BD}$$
$$\frac{CE}{EA}={\lambda }_3=\frac{CD}{DG}$$
$$\therefore \frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=\frac{DG}{BD}\frac{BD}{DC}\frac{CD}{DG}=1$$
[证毕]

三、塞瓦(Giovanni Ceva）定理

   塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。
【定理说明】
   塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

分析：

四、塞瓦点的推广

4.1 共线定理

   证明「梅涅劳斯定理」和「塞瓦定理」，为了思路的简洁开明，需要介绍共边定理；引理本身是足够简明直观的，介绍如下：
有参考图如下：

   在上面的四种情况下，有：
$$\frac{PM}{QM}=\frac{S_{\Delta PAB}}{S_{\Delta QAB}}$$
   证明就免了，无非三角形底边相同的时候，面积与高成比例，高又与斜线成比例，因此面积和斜边成比例。

4.2 三角形外的塞瓦点

   当塞瓦点在三角形外部，如下图：🔺ABC的三条线段的交点O位于三角形ABC的外部：
$$\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1$$

【证明】
$$\frac{BD}{DC}=\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ADC}}=\frac{S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ODC}}$$
更比定理：
$$\frac{BD}{DC}=\frac{S_{\Delta ABD}-S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ADC}-S_{\Delta OBD}}=\frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}}$$
$$\frac{CE}{EA}=\frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}}$$
$$\frac{AF}{FB}=\frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}}$$

$$\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=\frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}}\frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}}\frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}}=1$$

【证毕】