力扣：509. 斐波那契数（动态规划，附带递归版本） 详细讲解动态规划的思路
题目：
斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。
示例 1：
输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：
输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：
输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
提示：
0 <= n <= 30
思路：
本题很简单，但很适合用来做动态规划（和递归）的入门题，本篇文章主要讲解一下动态规划的思路。
动态规划
动规五部曲：
这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
- 确定递推公式
为什么这是一道非常简单的入门题目呢？
因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
- dp数组如何初始化
题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：
dp[0] = 0dp[1] = 1
- 确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
- 举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
以上就是动态规划五部曲 这在之后将贯穿所有动态规划类的题目
完整代码和复杂度分析：
动态规划版本1（定义dp数组）：
class Solution:def fib(self, n: int) -> int:# 排除 Corner Caseif n == 0:return 0# 创建 dp table dp = [0] * (n + 1)# 初始化 dp 数组dp[0] = 0dp[1] = 1# 遍历顺序: 由前向后。因为后面要用到前面的状态for i in range(2, n + 1):# 确定递归公式/状态转移公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]# 返回答案return dp[n]
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
动态规划版本2（不自定义dp数组，仅使用3个变量来维护dp数组）：
class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n <= 1:return ndp = [0, 1]for i in range(2, n + 1):total = dp[0] + dp[1]dp[0] = dp[1]dp[1] = totalreturn dp[1]
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
递归版本：
class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n < 2:return nreturn self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)
- 时间复杂度：O(2^n)
- 空间复杂度：O(n）