在抽象代数的环论中环Ring、交换环Commutative Ring和除环Division Ring / Skew Field是按照代数运算性质逐步加深、层层递进的三种基本代数结构。1. 环Ring设RRR是一个非空集合配有加法和乘法⋅\cdot⋅两种二元运算。如果(R,,⋅)(R, , \cdot)(R,,⋅)满足以下条件则称RRR为一个环加法构成阿贝尔群交换群加法结合律∀a,b,c∈R,(ab)ca(bc)\forall a, b, c \in R, (a b) c a (b c)∀a,b,c∈R,(ab)ca(bc)加法交换律∀a,b∈R,abba\forall a, b \in R, a b b a∀a,b∈R,abba存在加法零元000∀a∈R,a0a\forall a \in R, a 0 a∀a∈R,a0a存在加法逆元∀a∈R\forall a \in R∀a∈R,∃−a∈R\exist -a \in R∃−a∈R,a(−a)0a (-a) 0a(−a)0乘法满足结合律构成半群乘法结合律∀a,b,c∈R,(a⋅b)⋅ca⋅(b⋅c)\forall a, b, c \in R, (a \cdot b) \cdot c a \cdot (b \cdot c)∀a,b,c∈R,(a⋅b)⋅ca⋅(b⋅c)乘法对加法满足分配律左分配律∀a,b,c∈R,a⋅(bc)a⋅ba⋅c\forall a, b, c \in R, a \cdot (b c) a \cdot b a \cdot c∀a,b,c∈R,a⋅(bc)a⋅ba⋅c右分配律∀a,b,c∈R,(bc)⋅ab⋅ac⋅a\forall a, b, c \in R, (b c) \cdot a b \cdot a c \cdot a∀a,b,c∈R,(bc)⋅ab⋅ac⋅a经典例子偶数环2Z2\mathbb{Z}2Z无乘法单位元的环。n×nn \times nn×n实矩阵环Mn(R)M_n(\mathbb{R})Mn​(R)n≥2n \ge 2n≥2带有单位矩阵III但不满足乘法交换律。幺环 Ring with Unity有乘法单位元111的环称为幺环. 乘法单位元称作幺元unity.交换环Commutative Ring如果一个环(R,,⋅)(R, , \cdot)(R,,⋅)的乘法运算满足交换律即∀a,b∈R,a⋅bb⋅a\forall a, b \in R, \quad a \cdot b b \cdot a∀a,b∈R,a⋅bb⋅a则称RRR为一个交换环。经典例子整数环Z\mathbb{Z}Z最典型的交换环。多项式环F[x]F[x]F[x]FFF为任意域多项式乘法满足交换律。模mmm剩余类环Zm\mathbb{Z}_mZm​。除环Division Ring设RRR是一个幺环。如果RRR中的乘法满足所有元素除000外都有一个逆元即∀a∈R∖{0},∃a−1∈R 使得 a⋅a−1a−1⋅a1 \forall a \in R \setminus \{0\}, \quad \exists a^{-1} \in R \text{ 使得 } a \cdot a^{-1} a^{-1} \cdot a 1∀a∈R∖{0},∃a−1∈R使得a⋅a−1a−1⋅a1则称RRR为一个除环也常被称为体或非交换域。非交换除环经典例子四元数环H\mathbb{H}HHamiltonian Quaternions最著名的非交换除环。其元素形式为abicjdka bi cj dkabicjdka,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}a,b,c,d∈R乘法满足i2j2k2ijk−1i^2 j^2 k^2 ijk -1i2j2k2ijk−1。由于ijk≠−kjiij k \neq -k jiijk−kji乘法不可交换但每个非零四元数都有乘法逆元。