第三章 · 进退加减循规而行卷首语向东走三步再向西走五步最终离起点仅有两步。生活里的数量变化从来不是简单叠加而是正负相互抵消。3.1 操场上的方向游戏周五放学的铃声落下教学楼瞬间涌出喧闹的人群。苏晚、林默结伴走出校门没有直接回家绕到学校空旷的塑胶操场。梳理数轴、正负、算筹史料两人都想借着晚风放松片刻脚下红色跑道、白色分道线恰好像极了草稿纸上拉长的数轴。林默弯腰捡起路边一颗白色小石子踩住跑道中间的白色实线把石子摆在脚下当作原点标记指着笔直延伸的跑道“你看这条跑道左右分明完全和我们画的数轴一模一样这颗石子就是原点。”苏晚顺着他的目光看去轻轻点头“那我们规定朝教学楼的方向为正方向往校门走就是负方向每一步算作一个单位长度正好能模拟数轴上的数字移动。”话音刚落林默便提议玩一场位移小游戏用走路模拟数字相加看看正负叠加会出现什么结果。“我们来试第一种情况先朝正方向走3步再继续朝正方向走2步最后停在哪”林默一步一步向前踏出走完五步停下“一共向东走了5步对应算式325325325两个正数相加步数直接合并。”苏晚记下这个场景又换了一组行动“那我们反过来先朝负方向走4步再继续向西走1步。”两人一同往校门方向挪动走完后原地驻足“两次都是负方向叠加在一起一共向西5步也就是(−4)(−1)−5(-4)(-1)-5(−4)(−1)−5同号两数相加符号不变绝对值相加。”林默若有所思脑海里立刻想起《九章算术》里的记载一直向西不断叠加就像不断增加亏欠的黑筹数值只会越来越小。苏晚笑着补充“这就是同号相加的规律方向一致距离累加。那如果一东一西方向相反呢”她率先走出示范先向东走5步再转身向西走3步最终停在原点东侧两步的位置。“先走555再走−3-3−3最后剩下2算式5(−3)25(-3)25(−3)2。正数、负数相互抵消多出的部分就是最终位置。”林默跟上换一组数字演示先向西走6步再向东走6步脚步走完刚好踩回石子原点。“(−6)60(-6)60(−6)60互为相反数相加刚好相互抵消回到起点。”晚风卷起跑道边的落叶两人蹲在看台台阶拿出随身便签整理刚刚走路得出的全部规律把从古算筹、数轴到现在的行走游戏串在一起。“正数、负数代表相反的行进方向加法就是两次位移合并。”苏晚提笔逐条记录“同号相加取相同符号绝对值相加异号相加取绝对值较大的符号用大减小相互抵消互为相反数相加得0任何数加0等于数本身。”类型法则示例同号相加取相同符号绝对值相加(5)(2)7(5)(2)7(5)(2)7(−4)(−1)−5(-4)(-1)-5(−4)(−1)−5异号相加取绝对值较大的符号用大减小(5)(−3)2(5)(-3)2(5)(−3)2(−6)(4)−2(-6)(4)-2(−6)(4)−2互为相反数相加和为0(5)(−5)0(5)(-5)0(5)(−5)0任何数加0仍得这个数(−7)0−7(-7)0-7(−7)0−7林默盯着纸上多组行走算式忽然发现一个新的细节伸手点了两组式子“你看先向东3步再向西2步算式3(−2)13(-2)13(−2)1如果我调换顺序先向西2步再向东3步(−2)3(-2)3(−2)3最后还是停在东边1步结果完全一样。”运算律字母表示操场实例先算部分加括号加法交换律abbaabbaabba(3)(−2)(−2)(3)(3)(-2)(-2)(3)(3)(−2)(−2)(3)加法结合律(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)(2(−4))52((−4)5)(2(-4))52((-4)5)(2(−4))52((−4)5)苏晚顺着他的思路多试了几组数字验证像(−5)4(-5)4(−5)4和4(−5)4(-5)4(−5)、(−3)(−6)(-3)(-6)(−3)(−6)和(−6)(−3)(-6)(-3)(−6)(−3)无论正数负数调换相加顺序最终得数都没有变化。她在笔记新增一条总结两个有理数相加交换加数的位置和不变这是加法交换律。林默又延伸思考“如果分三段走路呢比如先走2再走-4最后走5。先算2(−4)2(-4)2(−4)再加5或是先算(−4)5(-4)5(−4)5再和2相加终点会不会相同”两人起身在跑道完整走了一遍两种先后顺序落脚点完全一致。苏晚继续补充笔记三个有理数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变这是加法结合律。“有了交换律和结合律以后多个有理数连加我们可以重新调整顺序把正数、负数分开计算算起来更简便。”苏晚把两条运算律工整写在加法法则下方。林默点点头联想到账本记账不管先记收入还是先记亏损最后结余不会改变和运算律的道理相通。不远处传来平缓脚步声程远拎着一摞整理完毕的书店习题册来操场找苏晚看见台阶上埋头记笔记的两人顺势走过来坐下。“放学不回家在跑道上推演有理数加法”程远扫过便签上的行走算式一眼看懂两人的思路。“我们用走路模拟数轴位移刚总结完加法法则还发现了加法交换律、结合律不过不确定这套规律是不是全部适用。”苏晚把便签递过去。程远目光扫过四条加法法则与两条运算律轻轻点头“你们靠实景推导出的全部结论和课本有理数加法内容完全一致不管是行走位移、账本收支、海拔温差全部通用。之前红黑算记录盈亏本质就是有理数加法的现实例子。”林默忽然想起心底一直留存的疑惑看向程远“不管是数轴大小比较古代算筹还是现在有理数加法、运算律你总能一下讲透好像早就把整套数字体系吃透了。”程远淡淡一笑没有过多解释只是指着跑道上那颗白色石子原点“数轴是根基正负代表相反量所有加减运算都是位置、距离的叠加抵消顺着这个逻辑后面减法也能自己推出来。”夕阳落在跑道上把三人的影子拉得很长。林默低头看着纸上一条条行走算式、两条运算律牢牢记住正负不只是纸上符号是脚步的进退是收支盈亏所有加法都是一场方向与距离的合并还能调换顺序简化计算。练习与思考A组 · 基础实操规定向东为正向东走4步记作____向西走6步记作____。先向东走3步再向东走2步算式________结果为____。先向西走5步再向东走5步算式________结果为____。计算1(7)(2)(7)(2)(7)(2)2(−4)(−6)(-4)(-6)(−4)(−6)39(−5)9(-5)9(−5)4(−8)8(-8)8(−8)85(−3)(7)(−2)(-3)(7)(-2)(−3)(7)(−2)65(−9)45(-9)45(−9)47(−6)(−3)(10)(-6)(-3)(10)(−6)(−3)(10)填空加法____律abbaabbaabba加法____律(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)B组 · 理解深化结合操场行走游戏用自己的话解释同号两数相加的法则。苏晚先向东走6步再向西走9步请问她最终在原点哪一侧写出对应算式。为什么互为相反数的两个数相加结果等于0结合跑道行走举例说明。举例说明什么是有理数加法交换律。C组 · 拓展思考结合《九章算术》红黑算筹的知识举一个生活收支例子写出对应的有理数加法算式。林先走−2-2−2步再走777步请描述他两次行走的方向以及最终相对原点的位置。开放题举一个温度变化的例子并用有理数加法列式再利用运算律简便计算。章末伏笔天色渐渐泛黄三人起身离开操场。林默走在后面反复回想刚刚总结的加法法则、两条加法运算律心底的疑惑再次浮现。程远总能把数轴、负数史料、有理数运算融会贯通仿佛早已完整学过整套内容这份好奇埋在心底他暗暗期待下一节减法该如何由加法推导而来。