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概率论基础知识

0.1 坐标变化后的均值方差

设随机变量 X 的均值为 μ，标准差为 σ， a、b 为常数

1. 变换后随机变量 \(Y = a + bX\) 的均值：\(E(Y)=a + b\mu\)
2. 变换后随机变量 \(Y = a + bX\) 的标准差：\(SD(Y)=|b|\sigma\)， 方差则为\(D(Y)=b^2\sigma^2\)
3. 均值推导：利用期望线性性 \(E(a + bX)=E(a)+bE(X) =a + b\mu\)
4. 方差推导：\(D(a + bX)=D(a)+b^2D(X)= 0 +b^2\sigma^2\)，标准差是方差开根号，即\(|b|\sigma\)。

0.2 狄拉克函数

δ 函数可以看作是一个无限窄、无限高，但面积始终为 1 的尖峰。

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\delta(x-x_0)\,dx = f(x_0) \]

这里的狄拉克函数\(\delta(\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\Psi}(\boldsymbol{x}))\), 挑选了那些 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\Psi}^{-1}(\boldsymbol{y})\)。

\[p_{\boldsymbol{Y}}(\boldsymbol{y}) = \int_{\mathbb{R}^D} \delta(\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\Psi}(\boldsymbol{x}))\,p_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x} \]

\[p_{\boldsymbol{Y}}(\boldsymbol{y}) = p_{\boldsymbol{X}}\left(\boldsymbol{\Psi}^{-1}(\boldsymbol{y})\right) \left|\det\left(\frac{\partial \boldsymbol{\Psi}^{-1}}{\partial \boldsymbol{y}}\right)\right|\]

0.2 The Principles of Diffusion Models

Assuming Ψ is a smooth bijection B.1.1中有大问题。因为双射光滑，与可导严格单调"g'>0 or g'<0"并非IIF。

当"g'=0"时，不满足$$dx/dy = 1 / dy/dx$$, 导数无穷大。 反函数求导法则 (Inverse Function Differentiation Rule)

0.3 向量值函数与标量函数乘积的散度公式

1 VAE

VAE的论文核心就两步。在Bayes的术语下。encoder:x->z, decoder:z->x。

1. 给出优化目标，LB。这块讲是不是很清楚，cs236讲的很好。
2. 给出优化算法.
   VAE的作者在2019年说，VAE最大的贡献是reparam。

根据期望的积分公式，对Z求积分。期望的条件概率为我们所需的条件概率，这里是给出X后的Z的分布。对应encoder，\(p_{\phi}(z|x)\)。

X是常数，所以整个积分后还是\(log P_{\theta}(x)\)。

\(log P_{\theta}(x)\)。可以通过变形，从其他概率中获得 \(log \frac{P_{\theta}(x,y)}{P_{\theta}(z|x)}\)。

根据VAE的推理，对应encoder，\(p_{\phi}(z|x,y)\)。

\(log P_{\theta}(y|x)\)。可以通过变形，从 \(log \frac{P_{\theta}(y,z|x)}{P_{\theta}(z|x,y)}\)。

其中\(P_{\theta}(y,z|x)\) = \(P_{\theta}(y|x,z)P_{\theta}(z|x)\).

\[log [\frac{ P_{\theta}(y,z|x)}{q_{\phi}(z|x,y)}] = log [\frac{P_{\theta}(y|x,z)P_{\theta}(z|x)}{q_{\phi}(z|x,y)}] \]

Ref

1. https://arxiv.org/abs/1906.02691