数据结构-Treap

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前置知识

• 平衡树
• 二叉堆

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思路

Treap 是平衡树的一种。
Treap=tree+heap=树堆 确实是这样的。
Treap 的每个节点维护两个值，原本的点权和随机生成的权重。Treap 对于点权满足 BST 的性质，对权重满足堆的性质，就可以达到 $O(\log n)$ 的期望复杂度了。
下面来讲一下 Treap 各主要函数的实现。

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$\text{Insert}$

插入节点。
先根据 BST 的性质插入元素为叶子节点，然后从叶子节点回溯至根节点，对不符合堆的性质的失衡子树做相应的旋转。

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$\text{Delete}$

删除节点。
需要将该节点逐层旋转至叶子节点，同时需要维护堆的性质，最终在叶子处删除节点。

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$\text{GetRnk}$

查询值对应的排名，该函数返回的其实是比该元素小的元素的数量。
利用 BST 的性质，每次向下需要加上该节点的同权值元素数，若向右子树递归则需要再加上左子树的大小。

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$\text{GetVal}$

查询排名对应的值。
利用 BST 的性质，每次向下时重新计算目标节点在子树中的排名，递归即可。

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$\text{GetPre}$

查询节点的前驱，即最大的比该元素小的数。
从根节点向下，若节点比该元素权值小，就向右子树递推，否则向左子树递推即可。

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$\text{GetNxt}$

查询节点的后继，即最小的比该节点大的数。
从根节点向下，若节点比该元素权值大，就向左子树递推，否则向右子树递推即可。

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数据结构参数

• 单次修改时间复杂度：$\Theta (\log n)$
• 单次查询时间复杂度：$\Theta (\log n)$
• 空间复杂度：$\Theta (n)$

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实现代码

代码比较长。考验码力。

int root,tot;//root 根 //tot 节点数 
struct node{int v,k,l,r,s,c;//v 权值 //k 随机权重 //l 左子节点 //r 右子节点 //s 子树大小 //c 同权值节点个数 
}t[N];//Treap
void Pushup(int p){//更新子树大小 t[p].s=t[t[p].l].s+t[t[p].r].s+t[p].c;
}
void Zag(int &p){//左旋 int q=t[p].r;t[p].r=t[q].l;t[q].l=p;p=q;Pushup(t[p].l);Pushup(p);
}
void Zig(int &p){//右旋 int q=t[p].l;t[p].l=t[q].r;t[q].r=p;p=q;Pushup(t[p].r);Pushup(p);
}
int  Create(int x){//创建节点 int k=++tot;t[k].v=x;t[k].s=t[k].c=1;t[k].l=t[k].r=0;t[k].k=rand();return k;
}
void Insert(int &p,int x){//插入 if (!p){p=Create(x);return;}if (x==t[p].v){t[p].c++;t[p].s++;return;}if (x<t[p].v) Insert(t[p].l,x);if (x>t[p].v) Insert(t[p].r,x);if (t[p].k<t[t[p].l].k) Zig(p);if (t[p].k<t[t[p].r].k) Zag(p);Pushup(p);
}
void Delete(int &p,int x){//删除 if (!p) return;if (t[p].v==x){if (t[p].c>1){t[p].c--;Pushup(p);return;}if (t[p].l||t[p].r){if (!t[p].r||t[t[p].l].k>t[t[p].r].k) Zig(p),Delete(t[p].r,x);else Zag(p),Delete(t[p].l,x);Pushup(p);}else p=0;return;}if (x<t[p].v) Delete(t[p].l,x);else Delete(t[p].r,x);Pushup(p);
}
int  GetRnk(int p,int v){//获取排名，该函数返回的其实是比该元素小的元素的数量if (!p) return 1;if (v==t[p].v) return t[t[p].l].s+1;else if (v<t[p].v) return GetRnk(t[p].l,v);else return t[t[p].l].s+t[p].c+GetRnk(t[p].r,v);
}
int  GetVal(int p,int x){//获取权值 if (!p) return INF;if (t[t[p].l].s>=x) return GetVal(t[p].l,x);if (t[t[p].l].s+t[p].c>=x) return t[p].v;return GetVal(t[p].r,x-t[t[p].l].s-t[p].c);
}
int  GetPre(int x){//获取前驱 int p=root,pre;while (p)if (t[p].v<x) pre=t[p].v, p=t[p].r;else p=t[p].l;return pre;
}
int  GetNxt(int x){//获取后继 int p=root,nxt;while (p)if (t[p].v>x) nxt=t[p].v, p=t[p].l;else p=t[p].r;return nxt;
}
void BuildT(){//建树Insert(root,INF);Insert(root,-INF);Pushup(root);if (t[root].k<t[t[root].l].k) Zig(root);
}

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练习

• 洛谷P3369【模版】普通平衡树
• 洛谷P6136【模版】普通平衡树（加强版）
• 洛谷P2202 Square Overlap S